सम्मिश्र संख्या वर्गमूल कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल a + bi के रूप में लिखी किसी भी सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल निकालता है, जहाँ a वास्तविक भाग और b काल्पनिक भाग है। हर अशून्य सम्मिश्र संख्या के ठीक दो वर्गमूल होते हैं, जो एक-दूसरे के ऋणात्मक होते हैं। यह कैलकुलेटर मुख्य मूल (principal root) देता है और बताता है कि दूसरा मूल बस इसी का ऋणात्मक रूप है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग (a) और काल्पनिक भाग (b) डालें, और परिणाम तुरंत देखें। यदि संख्या केवल एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, जैसे -4, तो बस a = -4 और b = 0 रखें। यह कैलकुलेटर इनपुट का मापांक तथा परिणामी मूल का मापांक भी दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
यदि \(z = a + bi\) हो और इसका मापांक \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) हो, तो मुख्य वर्गमूल इस प्रकार है:
$$\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + i\cdot\operatorname{sgn}(b)\cdot\sqrt{\frac{|z| - a}{2}}$$
b का चिह्न ही काल्पनिक भाग का चिह्न तय करता है। जब b = 0 और a ≥ 0 हो, तो मूल पूर्णतः वास्तविक होता है; और जब b = 0 तथा a < 0 हो, तो मूल पूर्णतः काल्पनिक होता है। मूल का मापांक \(\sqrt{|z|}\) के बराबर होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(z = 3 + 4i\)। तब \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\)। मूल का वास्तविक भाग \(= \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} = \sqrt{4} = 2\)। चूँकि b > 0 है, इसलिए काल्पनिक भाग \(= +\sqrt{\frac{5 - 3}{2}} = \sqrt{1} = 1\)। अतः $$\sqrt{3 + 4i} = 2 + i$$ (और दूसरा मूल \(-2 - i\) है)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
दो वर्गमूल क्यों होते हैं? वर्ग करने पर चिह्न का असर खत्म हो जाता है, इसलिए यदि \(w^2 = z\) है तो \((-w)^2 = z\) भी होगा। दोनों मूल हमेशा सिर्फ़ चिह्न में अलग होते हैं।
मुख्य मूल (principal root) क्या है? परंपरा के अनुसार यह वह मूल है जिसका वास्तविक भाग ऋणेतर (non-negative) हो — और जब वास्तविक भाग शून्य हो, तो जिसका काल्पनिक भाग ऋणेतर हो।
क्या मैं ऋणात्मक वास्तविक संख्या का मूल निकाल सकता हूँ? हाँ। b = 0 और a को ऋणात्मक रखें; उदाहरण के लिए \(\sqrt{-4} = 2i\)।
