什么是复数平方根计算器？
这款工具可以求出任意复数的平方根，复数写作 \(a + bi\) 的形式，其中 \(a\) 是实部，\(b\) 是虚部。每一个非零复数都恰好有两个互为相反数的平方根；本计算器会给出主平方根，并说明另一个平方根就是它的相反数。
如何使用
输入复数的实部（\(a\)）和虚部（\(b\)），即可直接读出结果。如果是纯实数的负数，例如 \(-4\)，只需设 \(a = -4\)、\(b = 0\) 即可。计算器还会同时给出输入复数的模长以及所得平方根的模长。
公式解析
设 \(z = a + bi\)，其模长为 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)，则主平方根为：
$$\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + i\cdot\operatorname{sgn}(b)\cdot\sqrt{\frac{|z| - a}{2}}$$虚部的正负由 \(b\) 的符号决定。当 \(b = 0\) 且 \(a \ge 0\) 时，平方根为纯实数；当 \(b = 0\) 且 \(a < 0\) 时，平方根为纯虚数。平方根的模长等于 \(\sqrt{|z|}\)。
实例演算
以 \(z = 3 + 4i\) 为例。此时 \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\)。平方根的实部为 \(\sqrt{\frac{5 + 3}{2}} = \sqrt{4} = 2\)。由于 \(b > 0\)，虚部取正号：\(+\sqrt{\frac{5 - 3}{2}} = \sqrt{1} = 1\)。因此 $$\sqrt{3 + 4i} = 2 + i$$（另一个平方根则为 \(-2 - i\)）。
常见问题
为什么会有两个平方根？ 平方运算会消去符号，所以若 \(w^2 = z\)，则 \((-w)^2 = z\) 同样成立。这两个平方根之间始终只相差一个符号。
什么是主平方根？ 按照惯例，主平方根是指实部非负的那个根；当实部为零时，则取虚部非负的根。
可以对负实数开平方吗？ 可以。把 \(b\) 设为 \(0\)、\(a\) 设为负数即可，例如 \(\sqrt{-4} = 2i\)。
