什么是二次数列第n项计算器？
二次数列是指二阶差分（即相邻差再相减的结果）保持恒定的一列数，它的通项满足 \(T_n = an^2 + bn + c\)。本计算器只需输入这种数列的前三项，就能自动求出系数 a、b、c，并给出完整的第n项公式。你还可以指定任意一项 \(n\)，立即算出它的数值。
使用方法
按顺序输入前三项（T₁、T₂ 和 T₃）。如果想知道某一项的值，可以选填项数 \(n\)，结果会立刻显示出来。计算器会给出通项公式，以及 a、b、c 的值和恒定的二阶差分。
公式原理
先求相邻两项之差：\(d_1 = T_2 - T_1\)，\(d_2 = T_3 - T_2\)。二阶差分为 \(\Delta^2 = d_2 - d_1\)，对于二次数列它恰好等于 \(2a\)，因此 \(a = \Delta^2/2\)。又因为 \(T_2 - T_1 = 3a + b\)，所以 \(b = (T_2 - T_1) - 3a\)。最后，由 \(T_1 = a + b + c\) 可得 \(c = T_1 - a - b\)。
$$T_n = a\,n^{2} + b\,n + c$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right.$$
例题演示
以数列 3、8、15 为例：一阶差分是 5 和 7，所以二阶差分为 2，得 \(a = 1\)。接着 \(b = 5 - 3(1) = 2\)，\(c = 3 - 1 - 2 = 0\)。于是通项公式为 \(T_n = n^2 + 2n\)。验证一下 \(T_5 = 25 + 10 = 35\)，结果正确。
常见问题
为什么只需要三项？ 二次数列有三个未知数（a、b、c），每一项对应一个方程，三个方程正好可以唯一确定它们。
如果二阶差分为零怎么办？ 那么 \(a = 0\)，数列实际上是线性的（即等差数列），通项简化为 \(T_n = bn + c\)。
能处理小数或负数吗？ 可以——各项可以是任意实数，求出的系数也可能是分数或负数。
