이차수열 일반항 계산기란?
이차수열이란 계차의 계차(2계차)가 일정한 수열을 말합니다. 이런 수열의 일반항은 \(T_n = a n^2 + b n + c\) 꼴로 나타낼 수 있죠. 이 계산기는 수열의 처음 세 항을 입력받아 계수 a, b, c를 자동으로 계산하고, 완성된 일반항 공식을 보여 줍니다. 또한 원하는 특정 항의 값도 바로 구할 수 있습니다.
사용 방법
처음 세 항(\(T_1\), \(T_2\), \(T_3\))을 순서대로 입력하세요. 필요하다면 항 번호 \(n\)을 함께 입력해 해당 항의 값을 즉시 확인할 수 있습니다. 계산기는 일반항 공식과 함께 계수 a, b, c, 그리고 일정한 2계차 값까지 보여 줍니다.
계산 원리
먼저 이웃한 항들의 차이(계차)를 구합니다. \(d_1 = T_2 - T_1\), \(d_2 = T_3 - T_2\)이죠. 2계차는 \(\Delta^2 = d_2 - d_1\)이며, 이차수열에서는 이 값이 \(2a\)와 같습니다. 따라서 \(a = \Delta^2 / 2\)입니다. 또한 \(T_2 - T_1 = 3a + b\)이므로 \(b = (T_2 - T_1) - 3a\)가 되고, 마지막으로 \(T_1 = a + b + c\)이므로 \(c = T_1 - a - b\)로 구할 수 있습니다.
$$T_n = a\,n^{2} + b\,n + c$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right.$$
예제로 살펴보기
수열 3, 8, 15를 예로 들어 봅시다. 계차는 5와 7이므로 2계차는 2이고, 따라서 \(a = 1\)입니다. 이어서 \(b = 5 - 3(1) = 2\), \(c = 3 - 1 - 2 = 0\)이 됩니다. 즉 일반항은 $$T_n = n^2 + 2n$$입니다. 검산해 보면 \(T_5 = 25 + 10 = 35\)로 정확히 맞아떨어집니다.
자주 묻는 질문
왜 세 항만 있으면 되나요? 이차식에는 미지수가 a, b, c 세 개뿐입니다. 따라서 항마다 식을 하나씩 세우면 세 개의 식으로 모든 미지수를 풀 수 있습니다.
2계차가 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 \(a = 0\)이 되어 수열은 사실상 등차수열(일차수열)이 됩니다. 그러면 일반항은 \(T_n = bn + c\)로 간단해집니다.
소수나 음수도 입력할 수 있나요? 물론입니다. 항에는 어떤 실수든 사용할 수 있으며, 계수는 분수나 음수로 나올 수도 있습니다.
