¿Qué es la calculadora del término general de una sucesión cuadrática?
Una sucesión cuadrática es una lista de números cuyas diferencias segundas son constantes. Su término general responde a la regla \(T_n = a n^2 + b n + c\). Esta calculadora parte de los tres primeros términos de la sucesión y determina los coeficientes a, b y c, ofreciéndote la fórmula completa del término general. Además, puede calcular el valor de cualquier término concreto que elijas.
Cómo usarla
Introduce los tres primeros términos (T₁, T₂ y T₃) en orden. Si quieres, escribe también un número de término n para leer al instante su valor. La calculadora muestra la regla junto con los valores de a, b, c y la diferencia segunda constante.
La fórmula paso a paso
Calcula las diferencias entre términos consecutivos: \(d_1 = T_2 - T_1\) y \(d_2 = T_3 - T_2\). La diferencia segunda es \(\Delta^2 = d_2 - d_1\), y en una sucesión cuadrática equivale a \(2a\), de modo que \(a = \Delta^2/2\). Como \(T_2 - T_1 = 3a + b\), obtenemos \(b = (T_2 - T_1) - 3a\). Por último, dado que \(T_1 = a + b + c\), llegamos a \(c = T_1 - a - b\).
$$\begin{gathered} T_n = a\,n^{2} + b\,n + c \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Para la sucesión 3, 8, 15: las diferencias primeras son 5 y 7, por lo que la diferencia segunda es 2 y \(a = 1\). Entonces \(b = 5 - 3(1) = 2\) y \(c = 3 - 1 - 2 = 0\). La regla queda $$T_n = n^2 + 2n.$$ Comprobamos: \(T_5 = 25 + 10 = 35\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué bastan tres términos? Una expresión cuadrática tiene tres incógnitas (a, b, c), así que tres ecuaciones —una por cada término— son suficientes para resolverlas.
¿Qué pasa si la diferencia segunda es cero? En ese caso \(a = 0\) y la sucesión es en realidad lineal (aritmética), de modo que la regla se reduce a \(T_n = bn + c\).
¿Admite decimales o números negativos? Sí: los términos pueden ser cualquier número real, y los coeficientes pueden salir como fracciones o valores negativos.
