ما هي حاسبة الحد النوني للمتتالية التربيعية؟
المتتالية التربيعية هي قائمة من الأعداد تكون فيها الفروق الثانية ثابتة، ويتبع حدها العام القاعدة \(T_n = an^2 + bn + c\). تأخذ هذه الحاسبة الحدود الثلاثة الأولى من المتتالية وتحسب المعاملات a وb وc، لتمنحك صيغة الحد النوني كاملة. كما يمكنها حساب قيمة أي حد محدد تختاره.
طريقة الاستخدام
أدخل الحدود الثلاثة الأولى (T₁ وT₂ وT₃) بالترتيب. ويمكنك اختياريًا إدخال رقم الحد \(n\) لتقرأ قيمته فورًا. تعرض الحاسبة القاعدة إلى جانب قيم a وb وc والفرق الثاني الثابت.
شرح الصيغة
احسب الفروق بين الحدود المتتالية: \(d_1 = T_2 - T_1\) وَ\(d_2 = T_3 - T_2\). أما الفرق الثاني فهو \(\Delta^2 = d_2 - d_1\)، وفي المتتالية التربيعية يساوي هذا \(2a\)، ومن ثم \(a = \Delta^2/2\). وبما أن \(T_2 - T_1 = 3a + b\)، فإننا نحصل على \(b = (T_2 - T_1) - 3a\). وأخيرًا، بما أن \(T_1 = a + b + c\)، فإن \(c = T_1 - a - b\).
$$ T_n = a\,n^{2} + b\,n + c $$ $$ \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right. $$
مثال محلول
لنأخذ المتتالية 3، 8، 15: الفروق الأولى هي 5 و7، إذن الفرق الثاني هو 2، ومنه \(a = 1\). ثم \(b = 5 - 3(1) = 2\)، وَ\(c = 3 - 1 - 2 = 0\). فتكون القاعدة $$ T_n = n^2 + 2n $$ وللتحقق: \(T_5 = 25 + 10 = 35\).
الأسئلة الشائعة
لماذا أحتاج إلى ثلاثة حدود فقط؟ تحتوي المعادلة التربيعية على ثلاثة مجاهيل (a وb وc)، لذا تكفي ثلاث معادلات — معادلة لكل حد — لحلها.
ماذا لو كان الفرق الثاني يساوي صفرًا؟ عندئذٍ يكون \(a = 0\) وتكون المتتالية في الحقيقة خطية (حسابية)، فتختزل القاعدة إلى \(T_n = bn + c\).
هل تتعامل مع الأعداد العشرية أو السالبة؟ نعم — تصلح أي أعداد حقيقية للحدود، وقد تأتي المعاملات على هيئة كسور أو أعداد سالبة.
