ما هي حاسبة قوة العدد المركب؟
تتيح لك هذه الأداة رفع عدد مركب مكتوب بالصورة الجبرية، أي \(z = a + bi\)، إلى أُس اختياري \(n\). وبدلًا من ضرب العدد في نفسه مرارًا، تحوّل الأداة العدد \(z\) إلى الصورة القطبية ثم تطبّق مبرهنة دي موافر، ما يجعل حساب الأُسس الصحيحة وحتى الكسرية سريعًا ودقيقًا. وتظهر النتيجة بالصورة المألوفة \(a + bi\)، إضافةً إلى مقياسها وسعتها.
كيفية الاستخدام
أدخل الجزء الحقيقي \(a\)، والجزء التخيّلي \(b\)، والأُس \(n\). ثم اضغط على «احسب» لتطّلع على النتيجة بالصورة الجبرية، والمقياس الجديد، والسعة الجديدة بالدرجات، إضافةً إلى المعاملات القطبية للعدد الأصلي. ويمكن أن يكون الأُس موجبًا أو سالبًا أو كسريًا.
شرح القانون
أولًا يُحوَّل العدد إلى الصورة القطبية: المقياس هو \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) والسعة هي \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). وتنصّ مبرهنة دي موافر بعد ذلك على أنّ:
$$z^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$وبفكّ الضرب نحصل على الجزء الحقيقي \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) والجزء التخيّلي \(r^{n}\cdot\sin(n\theta)\). واستخدام دالة \(\operatorname{atan2}\) يُبقي الزاوية في الربع الصحيح.
مثال محلول
لنأخذ \(z = 1 + i\) و \(n = 2\). المقياس هو \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) والسعة هي \(\theta = 45°\). وعليه فإن \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\) و \(n\theta = 90°\). إذن:
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i$$ويمكنك التحقّق مباشرةً: \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون \(n\) سالبًا؟ نعم. الأُس السالب يعطي مقلوب العدد مرفوعًا إلى الأُس الموجب، وهو مدعوم بالكامل ما دام \(z\) لا يساوي صفرًا.
هل يمكن أن يكون \(n\) كسرًا؟ نعم — تُرجع الأُسس الكسرية الجذر الأساسي (فرعًا واحدًا فقط). أما الجذور الأخرى فتختلف بإضافة مضاعفات \(2\pi/n\) إلى الزاوية.
لماذا نستخدم \(\operatorname{atan2}\) بدلًا من \(\arctan\)؟ لأنّ دالة \(\operatorname{atan2}\) تراعي إشارتَي \(a\) و \(b\) معًا، فتقع السعة في الربع الصحيح بدلًا من أن تنحرف بمقدار 180°.
