복소수 거듭제곱 계산기란?
이 도구는 직교형으로 표현된 복소수 \(z = a + bi\)를 임의의 지수 \(n\)으로 거듭제곱합니다. 같은 수를 여러 번 곱하는 대신, \(z\)를 극형식으로 변환한 뒤 드무아브르 정리를 적용하기 때문에 정수는 물론 정수가 아닌 지수까지도 빠르고 정확하게 계산할 수 있습니다. 결과는 익숙한 \(a + bi\) 형태로 제공되며, 절댓값(modulus)과 편각(argument)도 함께 보여줍니다.
사용 방법
실수부 \(a\), 허수부 \(b\), 지수 \(n\)을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 직교형 결과, 새로운 절댓값, 도(°) 단위의 새로운 편각, 그리고 원래 복소수의 극형식 값을 확인할 수 있습니다. 지수 \(n\)은 양수, 음수, 분수 모두 가능합니다.
공식 설명
먼저 복소수를 극형식으로 변환합니다. 절댓값은 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), 편각은 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)로 구합니다. 드무아브르 정리에 따르면 다음과 같습니다.
$$z^n = r^n\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$이를 전개하면 실수부는 \(r^n\cdot\cos(n\theta)\), 허수부는 \(r^n\cdot\sin(n\theta)\)가 됩니다. atan2를 사용하면 각도가 항상 올바른 사분면에 놓이도록 유지됩니다.
예제로 익히기
\(z = 1 + i\), \(n = 2\)인 경우를 살펴봅시다. 절댓값은 \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\), 편각은 \(\theta = 45°\)입니다. 그러면 \(r^n = (\sqrt{2})^2 = 2\)이고 \(n\theta = 90°\)가 됩니다. 따라서 다음과 같습니다.
$$z^2 = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i$$직접 전개해서 검산할 수도 있습니다.
$$(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$$자주 묻는 질문
n이 음수여도 되나요? 됩니다. 음의 지수는 역수를 양의 지수로 거듭제곱한 값과 같으며, \(z\)가 0이 아니라면 완전히 지원됩니다.
n이 분수여도 되나요? 됩니다. 분수 지수는 주근(principal root, 하나의 분기)을 반환합니다. 다른 근들은 각도에 \(2\pi/n\)의 정수배를 더한 값으로 구할 수 있습니다.
왜 arctan 대신 atan2를 쓰나요? atan2는 \(a\)와 \(b\)의 부호를 모두 고려하기 때문에, 편각이 180° 어긋나지 않고 정확한 사분면에 놓입니다.
