複素数のべき乗計算機とは？
このツールは、直交形式 \(z = a + bi\) で表された複素数を、任意の指数 \(n\) でべき乗します。複素数を何度も掛け合わせる代わりに、いったん極形式に変換してドモアブルの定理を適用するため、整数はもちろん、整数以外の指数でも高速かつ正確に計算できます。結果はおなじみの \(a + bi\) の形に加えて、絶対値（モジュラス）と偏角（アーギュメント）でも表示されます。
使い方
実部 \(a\)、虚部 \(b\)、そして指数 \(n\) を入力します。計算ボタンを押すと、直交形式の結果、新しい絶対値、度数法で表した新しい偏角、さらに元の複素数の極形式パラメータが表示されます。指数 \(n\) には正の数・負の数・分数のいずれも指定できます。
計算式の仕組み
まず複素数を極形式に変換します。絶対値は \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)、偏角は \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) です。ここでドモアブルの定理により、
$$z^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$が成り立ちます。これを展開すると、実部は \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\)、虚部は \(r^{n}\cdot\sin(n\theta)\) となります。\(\operatorname{atan2}\) を用いることで、角度が正しい象限に収まります。
計算例
\(z = 1 + i\)、\(n = 2\) としてみましょう。絶対値は \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)、偏角は \(\theta = 45^\circ\) です。すると \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\)、\(n\theta = 90^\circ\) となります。したがって
$$z^{2} = 2(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i$$です。直接展開しても確認できます：
$$(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i$$よくある質問
\(n\) は負の数でもよいですか？ はい。負のべき乗は、逆数を正のべき乗したものに等しく、\(z\) が 0 でない限り問題なく計算できます。
\(n\) は分数でもよいですか？ はい。分数の指数では主値（1 つの枝）が返されます。他の根は、角度に \(2\pi/n\) の整数倍を加えることで得られます。
なぜ \(\arctan\) ではなく \(\operatorname{atan2}\) を使うのですか？ \(\operatorname{atan2}\) は \(a\) と \(b\) の両方の符号を考慮するため、偏角が \(180^\circ\) ずれることなく、正しい象限に収まるからです。
