सम्मिश्र संख्या घात कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल आयताकार रूप में लिखी गई किसी सम्मिश्र संख्या \(z = a + bi\) को किसी भी घात \(n\) तक बढ़ाता है। संख्या को बार-बार खुद से गुणा करने के बजाय, यह \(z\) को ध्रुवीय (polar) रूप में बदलता है और डी मॉइवर प्रमेय लागू करता है, जिससे पूर्णांक ही नहीं बल्कि भिन्नात्मक घातें भी तेज़ी और सटीकता से निकल आती हैं। उत्तर आपको जाना-पहचाना \(a + bi\) रूप में मिलता है, साथ ही उसका मापांक (modulus) और कोणांक (argument) भी।
इसका उपयोग कैसे करें
वास्तविक भाग \(a\), काल्पनिक भाग \(b\) और घात \(n\) दर्ज करें। 'गणना करें' दबाते ही आपको आयताकार परिणाम, नया मापांक, डिग्री में नया कोणांक और मूल संख्या के ध्रुवीय मान दिखाई देंगे। घात धनात्मक, ऋणात्मक या भिन्नात्मक — कोई भी हो सकती है।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले संख्या को ध्रुवीय रूप में बदला जाता है: मापांक \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) और कोणांक \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)। फिर डी मॉइवर प्रमेय बताता है कि
$$z^{n} = r^{n}\left(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\right)$$इसे विस्तार से गुणा करने पर वास्तविक भाग \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) और काल्पनिक भाग \(r^{n}\cdot\sin(n\theta)\) मिलता है। atan2 का प्रयोग कोण को सही चतुर्थांश (quadrant) में रखता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(z = 1 + i\) और \(n = 2\)। यहाँ मापांक \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) और कोणांक \(\theta = 45°\) है। तब \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\) और \(n\theta = 90°\)। इसलिए
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i$$आप इसे सीधे भी जाँच सकते हैं: \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या n ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक घात संख्या के व्युत्क्रम (reciprocal) को धनात्मक घात तक बढ़ाने के बराबर होती है, और जब तक z शून्य नहीं है, यह पूरी तरह समर्थित है।
क्या n भिन्न हो सकता है? हाँ — भिन्नात्मक घातें मुख्य मूल (principal root) यानी एक शाखा देती हैं। बाकी मूल कोण में \(2\pi/n\) के गुणजों को जोड़ने पर मिलते हैं।
arctan के बजाय atan2 क्यों? atan2 \(a\) और \(b\) दोनों के चिह्नों को ध्यान में रखता है, इसलिए कोणांक सही चतुर्थांश में आता है, न कि 180° से चूकता है।
