सम्मिश्र संख्या का आर्गुमेंट क्या होता है?
हर सम्मिश्र संख्या \(z = a + bi\) को सम्मिश्र तल (complex plane) में एक बिंदु \((a, b)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसका आर्गुमेंट (जिसे कलांतर या आयाम भी कहते हैं) वह कोण है जो मूल बिंदु से उस बिंदु तक खींची गई रेखा, धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ वामावर्त दिशा (counterclockwise) में बनाती है। मॉड्यूलस \(|z|\) के साथ मिलकर आर्गुमेंट किसी सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप (polar form) देता है: $$z = |z|(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)$$
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी सम्मिश्र संख्या \(a + bi\) का वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b दर्ज करें। कैलकुलेटर आर्गुमेंट को रेडियन और डिग्री दोनों में, साथ ही मॉड्यूलस भी देता है। ऋणात्मक मान भी डाले जा सकते हैं, और परिणाम अपने-आप सही चतुर्थांश (quadrant) में रखा जाता है।
सूत्र की व्याख्या
एक सीधा-सादा तरीका \(\theta = \arctan(b/a)\) का उपयोग करता है, लेकिन यह तब विफल हो जाता है जब \(a = 0\) हो और यह चतुर्थांशों में भी अंतर नहीं कर पाता। इसके बजाय हम दो-तर्क वाले फलन \(\operatorname{atan2}(b, a)\) का उपयोग करते हैं, जो \(a\) और \(b\) दोनों के चिह्नों की जाँच करके \((-\pi, \pi]\) की परास में सही कोण लौटाता है। मॉड्यूलस यूक्लिडीय दूरी है: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(z = 1 + i\) के लिए, हमारे पास \(a = 1\) और \(b = 1\) है। तब $$\arg(z) = \operatorname{atan2}(1, 1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \text{ रेडियन} = 45°$$ और \(|z| = \sqrt{2} \approx 1.4142\) होगा। यानी \(1 + i\), पहले चतुर्थांश में रेखा \(y = x\) पर स्थित है — बिल्कुल वैसा ही जैसा अपेक्षित था।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
आर्गुमेंट की परास क्या होती है? परंपरा के अनुसार मुख्य मान (principal value) \((-\pi, \pi]\) में रहता है, यानी -180° से 180° तक।
arg(0) क्या होता है? शून्य का आर्गुमेंट अपरिभाषित (undefined) होता है; यहाँ \(\operatorname{atan2}(0, 0)\) का मान 0 लौटाया जाता है, परंतु जब \(|z| = 0\) हो तो इस कोण का कोई वास्तविक अर्थ नहीं होता।
डिग्री और रेडियन दोनों क्यों? कलन (calculus) और ऑयलर सूत्र में रेडियन मानक हैं, जबकि डिग्री को कल्पना करके समझना अक्सर आसान होता है। सुविधा के लिए दोनों ही दिए गए हैं।
