व्यंजक विस्तार और सरलीकरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

पहले गुणनखंड का गुणांक (a)

पहले गुणनखंड का अचर पद (b)

गुणा

दूसरे गुणनखंड का गुणांक (c)

दूसरे गुणनखंड का अचर पद (d)

FOIL विधि से (a·x + b)(c·x + d) का विस्तार करके उसे A·x² + B·x + C के रूप में सरल बनाता है।

परिणाम

Expanded & Simplified Expression

1x² + 5x + 6

रूप: A·x² + B·x + C

x² का गुणांक (A = a·c)	1
x का गुणांक (B = a·d + b·c)	5
अचर पद (C = b·d)	6

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह व्यंजक विस्तार और सरलीकरण कैलकुलेटर \((\text{a}\cdot x + \text{b})(\text{c}\cdot x + \text{d})\) रूप के दो रैखिक द्विपदों का गुणन करता है और सरलीकृत द्विघात व्यंजक \(\text{A}\cdot x^2 + \text{B}\cdot x + \text{C}\) के रूप में परिणाम देता है। यह वितरण नियम का उपयोग करता है — जिसे अक्सर FOIL (First, Outer, Inner, Last यानी पहला, बाहरी, भीतरी, अंतिम) के नाम से याद रखा जाता है — और फिर आपके लिए समान पदों को आपस में जोड़ देता है, ताकि आपको एकदम साफ़-सुथरा और पूरी तरह सरलीकृत उत्तर मिले।

इसका उपयोग कैसे करें

चार संख्याएँ दर्ज करें: पहले गुणनखंड का गुणांक और अचर पद (a और b), तथा दूसरे गुणनखंड का गुणांक और अचर पद (c और d)। कैलकुलेटर दोनों गुणनखंडों का गुणन करता है और विस्तारित बहुपद के तीनों गुणांक देता है — x² पद, x पद, और अचर पद।

सूत्र की व्याख्या

वितरण नियम कहता है कि \(\text{a}(\text{b} + \text{c}) = \text{ab} + \text{ac}\) होता है। इसे दो द्विपदों तक बढ़ाने पर FOIL मिलता है: पहले (First) पदों का गुणन \((\text{a}\cdot x \cdot \text{c}\cdot x = \text{ac}\cdot x^2)\), बाहरी (Outer) पदों का गुणन \((\text{a}\cdot x \cdot \text{d} = \text{ad}\cdot x)\), भीतरी (Inner) पदों का गुणन \((\text{b} \cdot \text{c}\cdot x = \text{bc}\cdot x)\), और अंतिम (Last) पदों का गुणन \((\text{b} \cdot \text{d} = \text{bd})\)। बीच के दोनों x-पदों को जोड़ने पर संयुक्त गुणांक \((\text{ad} + \text{bc})\) मिलता है। अंतिम सरलीकृत रूप \(\text{A}\cdot x^2 + \text{B}\cdot x + \text{C}\) होता है, जहाँ \(\text{A} = \text{ac}\), \(\text{B} = \text{ad} + \text{bc}\), और \(\text{C} = \text{bd}\) है।

$$\left(\text{a}\,x + \text{b}\right)\left(\text{c}\,x + \text{d}\right) = \text{a}\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\text{d} + \text{b}\text{c}\right)x + \text{b}\text{d}$$

चारों गुणनफल मिलकर मानक द्विघात A·x²+B·x+C बनाते हैं।

FOIL हर पद-जोड़ी को जोड़ता है: पहला, बाहरी, भीतरी, अंतिम।

हल किया हुआ उदाहरण

\((2x + 3)(4x + 5)\) का विस्तार करें। यहाँ \(\text{a} = 2\), \(\text{b} = 3\), \(\text{c} = 4\), \(\text{d} = 5\) है। \(\text{A} = 2\cdot 4 = 8\), \(\text{B} = 2\cdot 5 + 3\cdot 4 = 10 + 12 = 22\), \(\text{C} = 3\cdot 5 = 15\)। परिणाम है \(8x^2 + 22x + 15\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या मैं \((x + 3)^2\) जैसे पूर्ण वर्ग का विस्तार कर सकता हूँ? हाँ — इसे \((1x + 3)(1x + 3)\) के रूप में दर्ज करें: \(\text{a} = 1\), \(\text{b} = 3\), \(\text{c} = 1\), \(\text{d} = 3\), जिससे \(x^2 + 6x + 9\) मिलता है।

अगर किसी गुणनखंड में x पद न हो तो क्या करें? उस गुणांक को 0 कर दें। उदाहरण के लिए \((0x + 2)(3x + 4)\) बन जाता है \(2(3x + 4) = 6x + 8\), जो \(0x^2 + 6x + 8\) के रूप में दिखाया जाता है।

क्या यह ऋणात्मक या दशमलव संख्याओं के साथ काम करता है? हाँ। किसी भी फ़ील्ड में ऋणात्मक या दशमलव संख्याएँ दर्ज करें और सरलीकृत गुणांक ठीक उसी तरीके से निकाले जाते हैं।