मानों की तालिका से रैखिक समीकरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

x₁

y₁

x₂

y₂

परिणाम

रेखा का समीकरण

y = 3x - 1

ढलान-अंतःखंड रूप (y = mx + b)

ढलान (m)	3
y-अंतःखंड (b)	-1

यह कैलकुलेटर क्या करता है

मानों की तालिका किसी फलन के इनपुट और आउटपुट के जोड़ों को सूचीबद्ध करती है। जब ये मान एक सीधी रेखा पर पड़ते हैं, तो पूरे संबंध को एक ही रैखिक समीकरण, \(y = mx + b\), से व्यक्त किया जा सकता है। यह कैलकुलेटर आपकी तालिका के किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को लेकर सटीक ढलान (slope), y-अंतःखंड (y-intercept) और तैयार समीकरण निकाल देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपनी तालिका से कोई भी दो पंक्तियाँ चुनें और उनके निर्देशांक \((x_1, y_1)\) तथा \((x_2, y_2)\) के रूप में दर्ज करें। कैलकुलेटर y के परिवर्तन को x के परिवर्तन से भाग देकर ढलान निकालता है, फिर किसी एक बिंदु का उपयोग करके y-अंतःखंड हल करता है। परिणाम ढलान-अंतःखंड रूप (slope-intercept form) में दिखाया जाता है, जिसे आप सीधे ग्राफ़ बना सकते हैं या मानों में रख सकते हैं।

सूत्र की व्याख्या

ढलान m यह मापता है कि x में हर एक इकाई की वृद्धि पर y कितना बदलता है:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

एक बार m पता चल जाने पर, किसी एक बिंदु को \(y = mx + b\) में रखकर b हल करें:

$$b = y_1 - m\cdot x_1$$

यदि दोनों x-मान बराबर हों, तो रेखा ऊर्ध्वाधर (vertical) होती है और उसकी कोई ढलान नहीं होती, इसलिए कैलकुलेटर इसके बजाय \(x = \text{स्थिरांक}\) के रूप में परिणाम बताता है।

ढलान m दो बिंदुओं के बीच ऊर्ध्वाधर परिवर्तन और क्षैतिज परिवर्तन का अनुपात है; b वह जगह है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आपकी तालिका में बिंदु \((1, 2)\) और \((3, 8)\) दिए गए हैं। ढलान होगी $$\frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$ फिर $$b = 2 - 3\cdot 1 = -1$$ अतः रैखिक समीकरण है \(y = 3x - 1\)। जाँच करें: \(x = 3\) पर, \(y = 3\cdot 3 - 1 = 8\)। सही है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मुझे कौन से दो बिंदु चुनने चाहिए? पूरी तरह रैखिक तालिका के लिए कोई भी दो अलग-अलग पंक्तियाँ काम करती हैं; वे सभी एक ही रेखा देती हैं। सरल संख्याओं वाले बिंदु चुनने से मन ही मन जाँच करना आसान हो जाता है।

अगर मेरी तालिका पूरी तरह रैखिक न हो तो? तब कोई एक सीधी रेखा सभी पंक्तियों पर फिट नहीं बैठेगी। यह टूल आपके दर्ज किए गए दो बिंदुओं से गुज़रने वाली सटीक रेखा निकालता है; सर्वोत्तम-फिट रेखा (best-fit line) के लिए रैखिक प्रतिगमन (linear regression) कैलकुलेटर का उपयोग करें।

शून्य ढलान का क्या अर्थ है? शून्य ढलान का मतलब है कि y कभी नहीं बदलता — रेखा क्षैतिज (horizontal) होती है और समीकरण बस \(y = b\) रह जाता है।