रैखिक इंटरपोलेशन क्या है?
रैखिक इंटरपोलेशन एक ऐसी विधि है जिससे दो ज्ञात डेटा बिंदुओं के बीच पड़ने वाले किसी अज्ञात मान का अनुमान लगाया जाता है। इसमें यह मान लिया जाता है कि दोनों बिंदुओं के बीच का संबंध एक सीधी रेखा जैसा है, इसलिए अज्ञात मान उसी रेखा पर समानुपातिक रूप से स्थित होता है। जब भी आपके पास मानों की कोई तालिका हो और आपको "बीच का" कोई रीडिंग चाहिए हो, तो इंजीनियरिंग, सांख्यिकी, वित्त, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और विज्ञान में यह सबसे अधिक इस्तेमाल होने वाली तकनीकों में से एक है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने दो ज्ञात बिंदुओं के निर्देशांक दर्ज करें: \((x_1, y_1)\) और \((x_2, y_2)\)। इसके बाद वह x मान दर्ज करें जिस पर आप y का अनुमान लगाना चाहते हैं। कैलकुलेटर इंटरपोलेटेड y मान के साथ-साथ दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा की ढाल भी बता देता है। x मान आपके दोनों बिंदुओं के बीच हो सकता है (इंटरपोलेशन) या उनसे बाहर भी (एक्सट्रापोलेशन) — दोनों ही स्थितियों में यही सीधी रेखा वाला सूत्र लागू होता है।
सूत्र की व्याख्या
समीकरण है $$y = y_1 + \left(x - x_1\right) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$। यहाँ अंश \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) ढाल है — यानी x में प्रति इकाई बदलाव पर y में होने वाला बदलाव। ढाल को क्षैतिज दूरी \((x - x_1)\) से गुणा करने पर \(y_1\) से लक्ष्य बिंदु तक की वृद्धि मिलती है। इसे \(y_1\) में जोड़ने पर इंटरपोलेटेड मान प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(x_1\) और \(x_2\) अलग-अलग होने चाहिए, वरना ढाल अपरिभाषित हो जाएगी (शून्य से भाग)।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए आपको पता है कि \(x_1 = 10\) पर मान \(y_1 = 20\) है, और \(x_2 = 20\) पर मान \(y_2 = 40\) है। तो \(x = 15\) होने पर y कितना होगा? ढाल $$= \frac{40 - 20}{20 - 10} = 2$$ फिर $$y = 20 + (15 - 10) \times 2 = 20 + 10 = 30$$ यानी इंटरपोलेटेड मान 30 है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या मैं अपने बिंदुओं से बाहर एक्सट्रापोलेट कर सकता हूँ? हाँ। अगर x, \(x_1\) से छोटा या \(x_2\) से बड़ा है, तो सूत्र सीधी रेखा को बाहर की ओर बढ़ा देता है। पर सावधान रहें — एक्सट्रापोलेशन यह मानकर चलता है कि रैखिक प्रवृत्ति आगे भी जारी रहेगी।
क्या बिंदुओं का क्रम मायने रखता है? नहीं। आप \((x_1,y_1)\) और \((x_2,y_2)\) को आपस में बदल सकते हैं और फिर भी वही परिणाम मिलेगा, बशर्ते हर x अपने सही y के साथ जुड़ा रहे।
अगर \(x_1\) और \(x_2\) बराबर हों तो? तब ढाल अपरिभाषित हो जाती है (शून्य से भाग संभव नहीं), इसलिए किसी ऊर्ध्वाधर रेखा का इंटरपोलेशन नहीं किया जा सकता। ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर 0 लौटाता है — अपने इनपुट इस तरह समायोजित करें कि \(x_1 \neq x_2\) रहे।
