선형 보간이란?
선형 보간(linear interpolation)은 알고 있는 두 데이터 점 사이에 위치한 미지의 값을 추정하는 방법입니다. 두 점 사이의 관계가 직선이라고 가정하기 때문에, 찾으려는 값이 그 직선 위에 비례하여 놓이게 됩니다. 공학, 통계, 금융, 컴퓨터 그래픽스, 과학 등 다양한 분야에서, 값이 정리된 표를 가지고 있을 때 "그 사이"의 값을 읽어내야 하는 상황이라면 가장 널리 쓰이는 기법 중 하나입니다.
계산기 사용 방법
알고 있는 두 점의 좌표 \((x_1, y_1)\)과 \((x_2, y_2)\)를 입력하세요. 그런 다음 y값을 추정하고 싶은 x값을 입력합니다. 계산기는 보간된 y값과 함께 두 점을 잇는 직선의 기울기를 알려줍니다. 입력한 x값이 두 점 사이에 있으면 보간(interpolation), 두 점 바깥에 있으면 외삽(extrapolation)이 되는데, 어느 경우든 동일한 직선 공식이 그대로 적용됩니다.
공식 풀이
공식은 다음과 같습니다.
$$y = y_1 + \left(x - x_1\right) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
여기서 \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) 부분이 기울기, 즉 x가 1만큼 변할 때 y가 얼마나 변하는지를 나타냅니다. 이 기울기에 수평 거리 \((x - x_1)\)을 곱하면 \(y_1\)에서 목표 지점까지의 변화량(높이)이 나오고, 이를 \(y_1\)에 더하면 보간된 값이 됩니다. 단, \(x_1\)과 \(x_2\)는 서로 달라야 합니다. 그렇지 않으면 0으로 나누게 되어 기울기를 정의할 수 없습니다.
예제로 보는 계산
\(x_1 = 10\)일 때 값이 \(y_1 = 20\)이고, \(x_2 = 20\)일 때 값이 \(y_2 = 40\)이라고 합시다. \(x = 15\)일 때 y는 얼마일까요? 기울기는 다음과 같습니다.
$$\frac{40 - 20}{20 - 10} = 2$$
따라서
$$y = 20 + (15 - 10) \times 2 = 20 + 10 = 30$$
이 됩니다. 보간된 값은 30입니다.
자주 묻는 질문
두 점을 벗어난 값도 외삽할 수 있나요? 네. x가 \(x_1\)보다 작거나 \(x_2\)보다 크면, 공식이 직선을 바깥쪽으로 연장합니다. 다만 외삽은 직선 추세가 계속 이어진다고 가정하는 것이므로 주의해서 사용하세요.
점을 입력하는 순서가 결과에 영향을 주나요? 아니요. 각 x를 올바른 y와 짝지어 두기만 한다면, \((x_1,y_1)\)과 \((x_2,y_2)\)를 서로 바꿔 입력해도 동일한 결과가 나옵니다.
x₁과 x₂가 같으면 어떻게 되나요? 기울기를 정의할 수 없게 됩니다(0으로 나눌 수 없으므로). 수직선은 보간할 수 없기 때문입니다. 이 경우 계산기는 0을 반환하므로, \(x_1 \neq x_2\)가 되도록 입력값을 조정하세요.
