Что такое линейная интерполяция?
Линейная интерполяция — это способ оценить неизвестное значение, которое находится между двумя известными точками данных. Метод предполагает, что зависимость между точками описывается прямой линией, поэтому искомое значение лежит на ней пропорционально расстоянию. Это один из самых популярных приёмов в инженерии, статистике, финансах, компьютерной графике и науке: его применяют всякий раз, когда есть таблица значений, а нужно «промежуточное» показание.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты двух известных точек: \((\text{x}_1, \text{y}_1)\) и \((\text{x}_2, \text{y}_2)\). Затем укажите значение x, для которого нужно оценить y. Калькулятор выдаст интерполированное значение y и угловой коэффициент прямой, соединяющей ваши точки. Значение x может лежать между точками (интерполяция) или за их пределами (экстраполяция) — формула прямой работает одинаково в обоих случаях.
Разбор формулы
Уравнение выглядит так: $$y = \text{y}_1 + \left(\text{x} - \text{x}_1\right) \cdot \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$ Дробь \(\frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}\) — это угловой коэффициент, то есть изменение y на единицу изменения x. Умножив коэффициент на горизонтальное расстояние \((\text{x} - \text{x}_1)\), вы получаете прирост от y₁ до искомой точки. Прибавив его к y₁, находите интерполированное значение. Учтите: x₁ и x₂ должны различаться, иначе угловой коэффициент не определён (деление на ноль).
Пример расчёта
Допустим, при \(\text{x}_1 = 10\) значение равно \(\text{y}_1 = 20\), а при \(\text{x}_2 = 20\) — \(\text{y}_2 = 40\). Чему равно y при \(\text{x} = 15\)? Угловой коэффициент: $$\frac{40 - 20}{20 - 10} = 2$$ Тогда $$y = 20 + (15 - 10) \times 2 = 20 + 10 = 30$$ Интерполированное значение — 30.
Частые вопросы
Можно ли экстраполировать за пределы точек? Да. Если x меньше x₁ или больше x₂, формула продлевает прямую за границы. Но будьте осторожны: экстраполяция исходит из того, что линейная тенденция сохраняется.
Важен ли порядок точек? Нет. Вы можете поменять местами (x₁,y₁) и (x₂,y₂) и получить тот же результат — главное, чтобы каждый x был в паре со своим y.
Что если x₁ равно x₂? Угловой коэффициент становится неопределённым (нельзя делить на ноль), поэтому вертикальную линию интерполировать невозможно. В этом случае калькулятор возвращает 0 — измените исходные данные так, чтобы \(\text{x}_1 \neq \text{x}_2\).
