Калькулятор суммы (сигма-нотация)

Введите расчет

Тип выражения f(i) i (линейная сумма) i² (сумма квадратов) i³ (сумма кубов) c·i (константа × i) c (постоянное слагаемое)

Константа c (для типов c·i и c)

Нижний предел a

Верхний предел b

Результатов

Результат суммирования

55

Σ from i = 1 to 10

Число слагаемых	10
Нижний предел a	1
Верхний предел b	10

Что такое калькулятор суммы (сигма)?

Сигма-нотация, которая обозначается знаком Σ, — это компактный способ записать сумму большого числа слагаемых. Запись \(\sum_{i=a}^{b} f(i)\) означает: вычислить \(f(i)\) для каждого целого \(i\), начиная с нижнего предела \(a\) и заканчивая верхним пределом \(b\), а затем сложить все полученные значения. Этот калькулятор считает такую сумму для нескольких популярных выражений — \(i\), \(i^2\) (квадраты), \(i^3\) (кубы), \(c \cdot i\) и константы \(c\), — поэтому он удобен, чтобы проверить домашнее задание, сверить формулу или быстро получить итог, не выписывая каждое слагаемое вручную.

Как пользоваться

Выберите тип выражения для \(f(i)\). Если вы остановились на \(c \cdot i\) или \(c\), введите значение константы \(c\). Затем задайте нижний предел \(a\) и верхний предел \(b\) (оба — целые числа, причём \(b \geq a\)). Калькулятор перебирает каждое целое \(i\) в этом диапазоне, вычисляет \(f(i)\) и показывает итоговую сумму вместе с количеством сложённых слагаемых.

Разбор формулы

Общее определение выглядит так:

$$\sum_{i=a}^{b} f(i) = f(a) + f(a+1) + \dots + f(b)$$

Для самых частых случаев есть готовые формулы: сумма первых \(n\) натуральных чисел равна \(\frac{n(n+1)}{2}\), сумма квадратов — \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), а сумма кубов — \(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\). Этот инструмент получает результат прямым перебором, и он в точности совпадает с этими формулами.

Реклама

Строение знака суммы: индекс \(i\), нижний предел \(a\), верхний предел \(b\) и выражение \(f(i)\).

Пример с решением

Посчитаем \(\sum_{i=1}^{5} i^2\). Слагаемые:

$$1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$

По готовой формуле:

$$\frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$

Калькулятор выдаёт 55 при 5 слагаемых.

Сумма раскрывается в ряд слагаемых, которые складываются вместе.

Частые вопросы

Могут ли пределы быть отрицательными? Да — \(a\) и \(b\) могут быть любыми целыми числами, лишь бы выполнялось \(b \geq a\). Перебор просто идёт от \(a\) до \(b\).

Что делает тип «константа»? Если выбрать \(c\), то одно и то же значение \(c\) прибавляется по разу для каждого целого в диапазоне, поэтому результат равен \(c \times (\text{число слагаемых})\).

Почему результат равен 0? Если \(b\) меньше \(a\), складывать нечего, поэтому сумма равна 0.