Calculateur de somme (notation sigma Σ)

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Type d'expression f(i) i (somme linéaire) i² (somme des carrés) i³ (somme des cubes) c·i (constante × i) c (terme constant)

Constante c (utilisée par les types c·i et c)

Borne inférieure a

Borne supérieure b

Résultats

Résultat de la somme

55

Σ from i = 1 to 10

Nombre de termes	10
Borne inférieure a	1
Borne supérieure b	10

Qu'est-ce qu'un calculateur de somme (sigma) ?

La notation sigma, notée \(\Sigma\), est une façon compacte d'exprimer l'addition de nombreux termes. L'expression \(\sum_{i=a}^{b} f(i)\) signifie : évaluer \(f(i)\) pour chaque entier \(i\), en partant de la borne inférieure \(a\) jusqu'à la borne supérieure \(b\), puis additionner toutes ces valeurs. Ce calculateur effectue cette somme pour plusieurs expressions courantes — \(i\), \(i^{2}\) (carrés), \(i^{3}\) (cubes), \(c \cdot i\) et une constante \(c\) — afin de vérifier un devoir, valider une formule ou obtenir rapidement un total sans avoir à écrire chaque terme à la main.

Comment l'utiliser

Choisissez le type d'expression pour \(f(i)\). Si vous sélectionnez \(c \cdot i\) ou \(c\), saisissez la constante \(c\). Indiquez ensuite la borne inférieure \(a\) et la borne supérieure \(b\) (toutes deux entières, avec \(b \geq a\)). Le calculateur parcourt chaque entier \(i\) de cet intervalle, calcule \(f(i)\) et affiche le total ainsi que le nombre de termes additionnés.

La formule expliquée

La définition générale est :

$$\sum_{i=a}^{b} f(i) = f(a) + f(a+1) + \ldots + f(b).$$

Des raccourcis sous forme close existent pour les cas les plus fréquents : la somme des \(n\) premiers entiers vaut \(\frac{n(n+1)}{2}\), la somme des carrés vaut \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) et la somme des cubes vaut \(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\). Cet outil calcule le résultat par itération directe, ce qui correspond exactement à ces formules.

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Anatomie de la notation sigma : indice \(i\), borne inférieure \(a\), borne supérieure \(b\) et l'expression \(f(i)\).

Exemple détaillé

Calculons \(\sum_{i=1}^{5} i^{2}\). Les termes sont

$$1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.$$

Avec la forme close :

$$\frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55.$$

Le calculateur renvoie 55 pour 5 termes.

Une somme se développe en une série de termes que l'on additionne.

FAQ

Les bornes peuvent-elles être négatives ? Oui — \(a\) et \(b\) peuvent être n'importe quels entiers, tant que \(b \geq a\). La boucle s'exécute simplement de \(a\) jusqu'à \(b\).

À quoi sert le type « constante » ? Choisir \(c\) additionne la même valeur \(c\) une fois pour chaque entier de l'intervalle ; le résultat est donc \(c \times (\text{nombre de termes})\).

Pourquoi le résultat est-il égal à 0 ? Si \(b\) est inférieur à \(a\), il n'y a aucun terme à additionner : la somme vaut alors 0.