Qu'est-ce que le calculateur d'angle entre deux vecteurs ?
Cet outil détermine l'angle formé par deux vecteurs à partir de leurs composantes, dans le plan (2D) comme dans l'espace (3D). Il s'appuie sur le produit scalaire, l'une des relations les plus fondamentales du calcul vectoriel. Que vous travailliez en physique, en infographie, en apprentissage automatique ou en ingénierie, mesurer l'angle entre deux directions est une opération courante et indispensable.
Comment l'utiliser
Saisissez les composantes x, y et z du vecteur A et du vecteur B. Pour un problème en deux dimensions, laissez simplement les champs z vides ou indiquez 0. Le calculateur affiche l'angle à la fois en degrés et en radians, et présente également le produit scalaire, la norme de chaque vecteur ainsi que le cosinus de l'angle, pour que vous puissiez suivre chaque étape du calcul.
La formule expliquée
L'angle \(\theta\) vérifie la relation :
$$\theta = \arccos\left( \dfrac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{A} \rVert \, \lVert \vec{B} \rVert} \right)$$
Ici, le produit scalaire vaut \(a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\), et chaque norme correspond à la racine carrée de la somme des carrés des composantes, par exemple \(|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\). En divisant le produit scalaire par le produit des normes, on obtient \(\cos\theta\) ; l'arc cosinus de ce résultat donne alors l'angle, toujours compris entre 0° et 180°.
Exemple résolu
Prenons \(a = (1, 0, 0)\) et \(b = (1, 1, 0)\). Le produit scalaire est $$1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1.$$ Les normes valent \(|a| = 1\) et \(|b| = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). On a donc $$\cos\theta = \frac{1}{1 \times 1{,}4142} \approx 0{,}7071,$$ d'où \(\theta = \arccos(0{,}7071) = 45°\).
FAQ
Fonctionne-t-il avec des vecteurs 2D ? Oui : laissez les composantes z à 0 et le calcul se ramène au cas du plan.
Que se passe-t-il si un vecteur est nul ? L'angle n'est pas défini pour un vecteur nul ; le calculateur renvoie donc 0 afin d'éviter une division par zéro.
Pourquoi le résultat est-il toujours compris entre 0 et 180 degrés ? La fonction arc cosinus ne renvoie des valeurs que dans cet intervalle, qui correspond au plus petit angle non orienté entre les deux vecteurs.
