두 벡터 사이의 각도 계산기란?
이 도구는 2차원 또는 3차원 공간에서 두 벡터의 성분이 주어졌을 때 두 벡터가 이루는 각도를 계산합니다. 벡터 대수에서 가장 기본이 되는 항등식 중 하나인 내적(dot product) 관계를 이용하죠. 물리학, 컴퓨터 그래픽스, 머신러닝, 공학 등 어느 분야에서 작업하든 두 방향 사이의 각도를 구하는 일은 자주 마주치는 핵심 작업입니다.
사용 방법
벡터 A와 벡터 B의 x, y, z 성분을 입력하세요. 2차원 문제라면 z 칸을 비워 두거나 0으로 설정하면 됩니다. 계산기는 각도를 도(°)와 라디안 두 가지로 모두 알려 주며, 풀이 과정을 따라갈 수 있도록 내적 값, 각 벡터의 크기, 그리고 코사인 값까지 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
각도 \(\theta\)는 다음 식을 만족합니다.
$$\theta = \arccos\left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lVert \vec{a} \rVert \, \lVert \vec{b} \rVert} \right)$$
여기서 내적은 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)이고, 각 벡터의 크기는 성분 제곱의 합에 루트를 씌운 값입니다. 예를 들어 \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)가 되죠. 내적을 두 크기의 곱으로 나누면 \(\cos\theta\)가 나오고, 여기에 역코사인(arccos)을 취하면 각도가 구해집니다. 이 각도는 항상 0°에서 180° 사이에 놓입니다.
예제로 풀어보기
\(a = (1, 0, 0)\), \(b = (1, 1, 0)\)이라고 해봅시다. 내적은 $$1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1$$입니다. 각 크기는 \(\lVert a \rVert = 1\), \(\lVert b \rVert = \sqrt{2} \approx 1.4142\)이고요. 따라서 $$\cos\theta = \frac{1}{1 \times 1.4142} \approx 0.7071$$이 되며, \(\theta = \arccos(0.7071) = 45°\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
2D 벡터도 계산할 수 있나요? 네, z 성분을 0으로 두면 계산식이 평면(2차원) 상황으로 단순해집니다.
벡터가 영벡터(0)이면 어떻게 되나요? 영벡터에 대해서는 각도가 정의되지 않습니다. 따라서 0으로 나누는 일을 피하기 위해 계산기는 0을 반환합니다.
결과가 왜 항상 0°에서 180° 사이인가요? 역코사인 함수가 그 범위의 값만 출력하기 때문입니다. 이 값은 두 벡터 사이의 방향성 없는 최소 각도를 나타냅니다.
