헤론의 공식이란?
헤론의 공식은 삼각형 세 변의 길이만 알면 높이나 각도, 삼각함수 없이도 넓이를 구할 수 있게 해 주는 공식입니다. 약 2,000년 전 이 방법을 정리한 그리스의 공학자 알렉산드리아의 헤론(Hero of Alexandria)의 이름을 따서 붙여졌습니다. 이 계산기는 단위에 구애받지 않아, 세 변을 같은 단위(cm, m, 인치, 피트 등)로만 맞춰 입력하면 결과는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
계산기 사용법
세 변 a, b, c의 길이를 같은 단위로 입력하면 넓이가 바로 표시됩니다. 또한 공식 계산 과정에서 쓰이는 중간값인 반둘레(s)와 전체 둘레도 함께 보여줍니다. 삼각형이 성립하려면 임의의 두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 합니다(삼각부등식). 이 조건을 만족하지 못하면 그런 삼각형은 존재할 수 없으므로 넓이는 0으로 표시됩니다.
공식 풀이
먼저 둘레의 절반인 반둘레를 구합니다.
$$s = \frac{a + b + c}{2}$$
그다음 넓이는 다음과 같이 계산합니다.
$$A = \sqrt{s\,(s - a)\,(s - b)\,(s - c)}$$
\((s - a)\), \((s - b)\), \((s - c)\) 각각의 값은 삼각부등식이 성립할 때만 양수가 되며, 바로 이 점이 넓이가 허수가 아닌 실수로 나오도록 보장해 줍니다.
예제 풀이
세 변이 \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\)인 삼각형을 살펴봅시다. 반둘레는 $$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$입니다. 그러면 $$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$ (제곱 단위)가 됩니다. 이는 대표적인 직각삼각형으로, \(\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \tfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\) 으로 계산해도 같은 결과가 나와 답이 맞음을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
세 변의 단위를 꼭 같게 맞춰야 하나요? 네. 세 변 모두 같은 단위를 사용해야 하며, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
왜 0이 나오나요? 입력한 변들이 삼각형을 이룰 수 없을 때(한 변이 나머지 두 변의 합보다 크거나 같을 때) 유효한 넓이가 존재하지 않으므로 0으로 표시됩니다.
직각삼각형, 이등변삼각형, 부등변삼각형에도 모두 쓸 수 있나요? 네. 헤론의 공식은 모양이나 각도와 상관없이 모든 삼각형에 적용됩니다.
