ما هو قانون هيرون؟
يتيح لك قانون هيرون (المعروف أيضًا بصيغة هيرو) حساب مساحة المثلث عندما تكون أطوال أضلاعه الثلاثة معلومة — دون الحاجة إلى الارتفاع أو إحدى الزوايا أو أي حسابات مثلثية. وقد سُمّي القانون نسبةً إلى هيرون السكندري، المهندس اليوناني الذي وصفه قبل ما يقارب ألفي عام. وهذه الحاسبة شاملة وتعمل مع أي وحدة قياس متناسقة (سنتيمتر، متر، إنش، قدم)، وتأتي النتيجة ببساطة بمربّع تلك الوحدة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أطوال الأضلاع الثلاثة a وb وc بالوحدة نفسها، ثم اقرأ المساحة مباشرةً. تعرض الأداة أيضًا نصف المحيط (\(s\)) — وهو قيمة وسيطة يستخدمها القانون — إضافةً إلى المحيط الكامل. ولكي يكون المثلث صحيحًا يجب أن يكون مجموع أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث (متباينة المثلث)؛ وإذا لم يتحقق هذا الشرط تظهر المساحة بقيمة صفر لأن مثلثًا كهذا لا وجود له.
شرح القانون
احسب أولًا نصف المحيط، أي نصف المحيط الكلي:
$$s = \frac{a + b + c}{2}$$
ثم تُحسب المساحة كالتالي:
$$A = \sqrt{s\,(s - a)\,(s - b)\,(s - c)}$$
يكون كل من العوامل \((s - a)\) و\((s - b)\) و\((s - c)\) موجبًا فقط عندما تتحقق متباينة المثلث، وهذا ما يضمن الحصول على مساحة حقيقية (غير تخيّلية).
مثال محلول
لنأخذ مثلثًا أطوال أضلاعه \(a = 3\) وb = 4 وc = 5. يكون نصف المحيط $$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6.$$ ثم $$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$ وحدات مربّعة. وهذا هو المثلث القائم الكلاسيكي، وبالفعل فإن \(\tfrac{1}{2} \times\) القاعدة \(\times\) الارتفاع \(= \tfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\) تؤكّد النتيجة.
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن تكون الأضلاع بالوحدة نفسها؟ نعم — استخدم وحدة واحدة للأضلاع الثلاثة جميعها؛ وتأتي المساحة بمربّع تلك الوحدة.
لماذا تظهر النتيجة صفرًا؟ إذا تعذّر على الأضلاع تكوين مثلث (أي عندما يكون أحد الأضلاع أطول من مجموع الضلعين الآخرين أو مساويًا له)، فلا توجد مساحة صحيحة، لذا تظهر القيمة صفرًا.
هل يصلح للمثلثات القائمة والمتساوية الساقين والمختلفة الأضلاع؟ نعم. ينطبق قانون هيرون على كل مثلث بغضّ النظر عن شكله أو زواياه.
