세 변으로 삼각형 넓이 구하는 계산기란?
이 계산기는 세 변의 길이만 알면 삼각형의 넓이를 구해 줍니다. 높이나 각도 정보는 전혀 필요 없습니다. 고대 그리스의 수학자 알렉산드리아의 헤론에서 유래한 고전적인 공식인 '헤론의 공식'을 사용하며, 부등변·이등변·정삼각형을 가리지 않고 모든 유효한 삼각형에 적용할 수 있습니다.
사용 방법
세 변의 길이 a, b, c를 같은 단위(cm, m, inch 등)로 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 넓이가 제곱 단위로 표시되며, 반둘레와 둘레 값도 함께 확인할 수 있습니다. 단, 세 변은 삼각형의 성립 조건(삼각부등식)을 만족해야 합니다. 즉 어느 두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 하며, 그렇지 않으면 삼각형이 만들어지지 않아 넓이는 0이 됩니다.
공식 풀이
먼저 둘레의 절반인 반둘레(semi-perimeter)를 구합니다.
$$s = \frac{a + b + c}{2}$$
그다음 이 값을 헤론의 공식에 대입합니다.
$$\text{넓이} = \sqrt{s\,(s - a)\,(s - b)\,(s - c)}$$
이 공식은 오직 변의 길이에만 의존하므로 삼각형의 높이를 몰라도 넓이를 구할 수 있습니다.
계산 예시
세 변이 \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\)인 삼각형을 살펴보겠습니다. 반둘레는 \(s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6\)입니다. 이를 대입하면 $$\text{넓이} = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$ 제곱 단위가 됩니다. 이는 잘 알려진 3-4-5 직각삼각형과 일치하며, \(\tfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\) 으로 계산해도 같은 값이 나옵니다.
자주 묻는 질문
세 변의 단위를 꼭 같게 맞춰야 하나요? 네, 반드시 같아야 합니다. 단위를 섞어 입력하면 결과가 아무런 의미가 없습니다. 넓이는 입력한 단위의 제곱(예: cm²)으로 나옵니다.
입력한 값으로 삼각형이 만들어지지 않으면 어떻게 되나요? 한 변의 길이가 나머지 두 변의 합과 같거나 그보다 크면 삼각형이 성립하지 않으며, 계산기는 넓이를 0으로 반환합니다.
직각삼각형에도 사용할 수 있나요? 물론입니다. 헤론의 공식은 직각·이등변·정삼각형을 포함한 모든 삼각형에 그대로 적용됩니다.
