헤론의 공식이란?
헤론의 공식은 삼각형의 세 변 길이만 알면 넓이를 구할 수 있게 해주는 공식입니다. 각도나 높이를 따로 잴 필요가 없죠. 알렉산드리아의 수학자 헤론(Hero)의 이름에서 유래했으며, 기하학은 물론 측량과 건축 현장에서도 매우 유용하게 쓰입니다. 토지나 도형의 높이를 재는 것보다 세 변의 길이를 측정하는 편이 훨씬 간단하기 때문입니다.
계산기 사용 방법
세 변 a, b, c의 길이를 같은 단위(센티미터, 미터, 인치 등)로 입력하세요. 계산기가 먼저 반둘레를 구한 뒤 넓이를 제곱 단위로 알려 줍니다. 단, 세 변은 삼각형 부등식을 만족해야 합니다. 즉 각 변의 길이는 나머지 두 변의 합보다 짧아야 합니다. 이 조건을 만족하지 못하면 실제로 존재할 수 있는 삼각형이 아니므로 넓이는 0으로 표시됩니다.
공식 자세히 보기
먼저 반둘레 \(s = (a + b + c) / 2\)를 구합니다. 그다음 넓이는 다음과 같이 계산합니다.
$$A = \sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}$$\((s - a)\), \((s - b)\), \((s - c)\) 각각의 값은 올바른 삼각형일 때만 양수가 되며, 덕분에 제곱근 안의 값이 항상 0 이상으로 유지됩니다.
예제 풀이
변의 길이가 \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\)인 삼각형을 살펴봅시다. 반둘레는 \(s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6\)입니다. 따라서 넓이는 다음과 같습니다.
$$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$(제곱 단위)가 됩니다. 이는 잘 알려진 3-4-5 직각삼각형으로, 넓이를 \(\tfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)으로 계산해도 같은 값이 나와 결과를 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
아무 단위나 써도 되나요? 네, 세 변을 모두 같은 단위로 입력하기만 하면 됩니다. 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
왜 0이 표시되나요? 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합과 같거나 더 길면 세 길이로 삼각형을 만들 수 없으므로 넓이가 0으로 나타납니다.
모든 삼각형에 적용되나요? 네. 부등변·이등변·정삼각형은 물론 예각·직각·둔각 삼각형까지 모두 가능합니다. 헤론의 공식은 세 변의 길이만 있으면 됩니다.
