什麼是兩向量夾角計算機？
這個工具能依據兩個向量在 2D 或 3D 空間中的分量，計算出它們之間的夾角。它運用的是「內積（點積）」這個向量代數中最基本的關係式。無論你是在處理物理、電腦繪圖、機器學習還是工程問題，求出兩個方向之間的夾角都是相當常見且重要的工作。
使用方式
請輸入向量 A 與向量 B 的 x、y、z 分量。若處理的是二維問題，只要將 z 欄位留空或填入 0 即可。計算機會同時以度數和弧度回傳夾角，並列出內積、各向量的長度（大小）以及夾角的餘弦值，讓你能完整對照每一步的計算過程。
公式說明
夾角 \(\theta\) 滿足以下關係：
$$\theta = \arccos\left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lVert \vec{a} \rVert \cdot \lVert \vec{b} \rVert} \right)$$其中內積為 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)，而每個向量的長度則是各分量平方和的平方根，例如 \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)。將內積除以兩向量長度的乘積即可得到 \(\cos\theta\)，再取反餘弦（arccos）就能求出夾角，而這個角度必定落在 0° 到 180° 之間。
實例演算
假設 \(\vec{a} = (1, 0, 0)\)、\(\vec{b} = (1, 1, 0)\)。其內積為 \(1\cdot1 + 0\cdot1 + 0\cdot0 = 1\)。兩向量長度分別為 \(\lVert \vec{a} \rVert = 1\)、\(\lVert \vec{b} \rVert = \sqrt{2} \approx 1.4142\)。因此 $$\cos\theta = \frac{1}{1 \times 1.4142} \approx 0.7071, \quad \theta = \arccos(0.7071) = 45°.$$
常見問題
可以計算二維向量嗎？可以——只要把 z 分量保持為 0，公式就會自動化簡成平面（二維）的情況。
如果其中一個向量是零向量怎麼辦？對零向量而言，夾角是沒有定義的，因此計算機會回傳 0，以避免除以零的問題。
為什麼結果一定介於 0 到 180 度之間？因為反餘弦（arccos）函數的輸出範圍就只在這個區間內，而它所代表的正是兩向量之間最小且不分方向的夾角。
