什麼是兩直線的夾角？
當兩條直線相交時，會形成兩組角——一個銳角，以及與它互補的鈍角。這個計算器可直接從兩條直線的斜率 \(m_1\) 與 \(m_2\) 求出相交角度，完全不必畫圖。在座標幾何、三角學、測量以及電腦繪圖領域，它都是不可或缺的實用工具。
如何使用本計算器
輸入第一條直線的斜率（\(m_1\)）與第二條直線的斜率（\(m_2\)）。斜率就是每條直線的「縱向變化量除以橫向變化量」（rise over run）——以方程式 \(y = mx + b\) 來說，\(m\) 就是斜率。按下計算後，你會看到以度為單位的銳角，以及與它互補的鈍角。
公式說明
兩直線之間的夾角 \(\theta\) 可用下列公式求得：
$$\theta = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\right) \times \frac{180}{\pi}$$
取絕對值可確保正切值為非負，因此得到的會是銳角。arctan 的結果以弧度（radian）表示，所以要再乘以 \(\frac{180}{\pi}\) 換算成度。有一種特殊情況：當 \(1 + m_1 m_2 = 0\) 時，分母為零，代表兩直線互相垂直，夾角恰為 \(90^\circ\)。本計算器會自動處理這種情況。
範例演算
假設第一條直線的斜率 \(m_1 = 1\)，第二條直線的斜率 \(m_2 = 0\)（即一條水平線）。則 $$\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$因此 \(\theta = \arctan(1) = 45^\circ\)，而鈍角為 \(180 - 45 = 135^\circ\)。
關鍵術語與變數
- 斜率 (m)
- 直線的陡峭程度，定義為垂直變化與水平變化的比率，\(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)。較大的絕對值表示更陡的直線；正斜率從左至右上升，負斜率則下降。
- 傾斜角
- 單條直線與正 x 軸所成的角度，按逆時針方向測量。它與斜率的關係為 \(m = \tan(\alpha)\)。兩條直線之間的角度是它們傾斜角的差。
- 銳角
- 小於 \(90^\circ\) 的角。正切公式中的絕對值總是產生兩條相交直線之間的銳角。
- 鈍角（補角）
- 介於 \(90^\circ\) 和 \(180^\circ\) 之間的角。兩條相交直線形成銳角 \(\theta\) 及其補角 \(180^\circ - \theta\)；兩者共同構成交點處的四個角。
- 反正切（反三角正切，tan⁻¹）
- 返回其正切值等於給定值的角度的函數，\(\theta = \tan^{-1}(x)\)。其主要範圍是 \(-90^\circ\) 到 \(90^\circ\)，因此應用於非負輸入時會產生銳角。
- 垂直線
- 以 \(90^\circ\) 相交的兩條直線。對於非垂直直線，這發生在 \(m_1 m_2 = -1\) 時，使分母 \(1 + m_1 m_2 = 0\) 且正切未定義。
- 平行線
- 永不相交且斜率相等的兩條直線，\(m_1 = m_2\)。公式隨後給出分子為 0，因此 \(\theta = \tan^{-1}(0) = 0^\circ\)。
常見問題
如果兩條直線平行會怎樣？平行線的斜率相等（\(m_1 = m_2\)），算出來的 \(\theta = 0^\circ\)。
要怎麼輸入垂直線？垂直線的斜率沒有定義，所以無法直接輸入。你可以改用一個極大的斜率來近似垂直的那一條，或是換個方式重新設定問題。
為什麼會有兩個答案？兩條相交的直線一定會同時產生一個銳角與一個鈍角，兩者相加為 \(180^\circ\)。一般所謂的兩直線「夾角」，慣例上指的是銳角。
