特徵多項式計算器

輸入計算

矩陣大小 2×2 3×3

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

若為 2×2 矩陣，只會使用左上角的四個元素（a11、a12、a21、a22）。

結果

特徵多項式 p(λ)

1λ² -4λ +3

= 0

λ³ 係數	0
λ² 係數	1
λ¹ 係數	-4
λ⁰（常數項）	3
跡 tr(A)	4
行列式 det(A)	3

什麼是特徵多項式？

方陣 A 的特徵多項式定義為 \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)，其中 I 是單位矩陣，\(\lambda\) 是純量變數。這個多項式的根，正好就是 A 的特徵值（eigenvalue），因此它是線性代數的核心概念，並廣泛應用於微分方程、系統穩定性分析以及量子力學等領域。本計算器同時支援 2×2 與 3×3 矩陣，會回傳多項式的各項係數，以及矩陣的跡（trace）與行列式（determinant）。

特徵多項式來自 \(\det(A - \lambda I)\)，即在對角線上減去 \(\lambda\)。

如何使用本計算器

先選擇矩陣大小（2×2 或 3×3），接著把每個數值填入對應的格子裡。若選擇 2×2 矩陣，系統只會使用 a11、a12、a21 與 a22 這四格，其餘格子會被忽略。填好後按下計算，即可看到以標準形式寫出的特徵多項式，以及每一項的係數。

計算公式

對於 2×2 矩陣，結果相當簡潔：

$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$

其中 \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\)，\(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\)。

對於 3×3 矩陣：

$$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$

其中 \(\operatorname{tr}(A)\) 是主對角線元素的總和，而 \(m\) 則是三個主二階子式（principal minor）的總和——也就是分別沿著對角線刪去對應的一列與一行後所得到的子式。

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對於 2×2 矩陣，多項式為 \(\lambda^{2} - (\text{跡})\lambda + (\text{行列式})\)。

實際範例

以 2×2 矩陣 [[2, 1], [1, 2]] 為例。跡為 \(2 + 2 = 4\)，行列式為 \(2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\)。因此 \(p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3\)，可因式分解為 \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\)，得到特徵值 1 與 3。

常見問題

特徵多項式的根代表什麼？它們就是矩陣的特徵值（eigenvalue）。

為什麼 3×3 矩陣的最高次項係數是 −1？因為對奇數階矩陣展開 \(\det(A - \lambda I)\) 時，會產生 \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\) 這一項。許多教科書會將整個式子乘以 −1，讓它變成首一多項式（monic）；無論哪一種寫法，根都完全相同。

非對稱矩陣也適用嗎？適用——公式會用到矩陣的每一個元素，因此任何實數的 2×2 或 3×3 矩陣都能計算。