什麼是蓋根包爾（超球）多項式？
蓋根包爾多項式又稱超球多項式，是一族正交多項式 \(C_{n}^{\lambda}(x)\)，可同時涵蓋勒讓德（Legendre）與切比雪夫（Chebyshev）多項式，視為兩者的推廣。它們在區間 [-1, 1] 上以權函數 \((1 - x^{2})^{\lambda-1/2}\) 滿足正交性。本計算器可一次對多個 x 值求出 \(C_{n}^{\lambda}(x)\)，建立一份 (x, 數值) 對應表，並繪製折線圖，方便你觀察多項式的形狀、根的分布與振盪情形。
使用方法
輸入次數 n（非負整數）、參數 λ（實數；標準正交性需 λ > -1/2）、x 的起始值、增量（相鄰 x 值之間的間距），以及重複次數（要產生幾列資料）。計算器會依 $$x_i = \text{起始值} + i\cdot\text{增量}, \quad i = 0,\dots,\text{count}-1$$ 逐步遞增 x，並在每一點求出多項式的值。預設值（n=3、λ=2、x 由 -1 開始、間距 0.02、共 101 列）正好掃過 -1 到 +1 的完整正交區間。
公式說明
計算器不採用伽瑪函數／超幾何形式，而是使用數值上更穩定的三項遞迴關係： $$\left\{ \begin{aligned} C_{0}^{\lambda}(x) &= 1 \\ C_{1}^{\lambda}(x) &= 2\lambda x \\ k\,C_{k}^{\lambda}(x) &= 2x(k+\lambda-1)\,C_{k-1}^{\lambda}(x) - (k+2\lambda-2)\,C_{k-2}^{\lambda}(x) \end{aligned} \right.$$ （對 k = 2..n）。兩個特例：當 \(\lambda = 1/2\) 時得到勒讓德多項式 \(P_{n}\)；當 \(\lambda = 1\) 時得到第二類切比雪夫多項式 \(U_{n}\)。
實際範例
取 n=3、λ=2，由遞迴關係可得 \(C_{3}^{2}(x) = 32x^{3} - 12x\)。當 x = -1 時，值為 $$32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20$$ 這正是表格的第一列；當 x = 0 時值為 0；當 x = 0.5 時為 \(32(0.125) - 6 = -2\)；當 x = 1 時為 \(32 - 12 = 20\)。
常見問題
這個多項式在 [-1, 1] 之外有定義嗎？有的。多項式對所有實數 x 都有定義；區間 [-1, 1] 只是正交性（以及預設圖形視窗）所在的範圍。在此區間之外，當 n 較大時數值會迅速增長。
當 λ = 0 時會發生什麼？這是超球多項式的退化情形：遞迴關係會崩解，因此計算器回傳 \(C_{0} = 1\)，並對 n ≥ 1 回傳 \(C_{n} = 0\)。其有意義的極限可透過第一類切比雪夫多項式表示： $$\lim_{\lambda\to 0} \frac{C_{n}^{\lambda}(x)}{\lambda} = \frac{2}{n}\,T_{n}(x)$$ 。
最多可以產生幾列？任意 ≥ 1 的數量皆可；為維持流暢度，工具會對過大的請求設上限。增量可以為 0（所有列共用同一個 x），但一般會設為正值。
