¿Qué es el polinomio de Gegenbauer (ultraesférico)?
Los polinomios de Gegenbauer, también conocidos como polinomios ultraesféricos, forman una familia de polinomios ortogonales \(C_{n}^{\lambda}(x)\) que generaliza tanto a los polinomios de Legendre como a los de Chebyshev. Son ortogonales en el intervalo [-1, 1] con la función de peso \((1 - x^{2})^{\lambda-1/2}\). Esta calculadora evalúa \(C_{n}^{\lambda}(x)\) en muchos valores de x a la vez y construye una tabla de pares (x, valor) junto con una gráfica de líneas que te permite estudiar la forma del polinomio, sus raíces y sus oscilaciones.
Cómo usarla
Introduce el grado n (un entero no negativo), el parámetro λ (real; para que se cumpla la ortogonalidad estándar se necesita λ > -1/2), el valor inicial de x, el incremento (la separación entre valores sucesivos de x) y el número de repeticiones (cuántas filas quieres generar). La calculadora recorre $$x_i = \text{Initial }x + i\cdot\text{Increment}, \quad i = 0,\dots,n-1$$ y evalúa el polinomio en cada punto. Los valores predeterminados (n=3, λ=2, x desde -1, paso 0.02, 101 filas) cubren toda la ventana de ortogonalidad, de -1 a +1.
La fórmula explicada
En lugar de la expresión con funciones gamma o hipergeométricas, la calculadora emplea la recurrencia de tres términos, que es numéricamente estable: $$\left\{ \begin{aligned} C_{0}^{\lambda}(x) &= 1 \\ C_{1}^{\lambda}(x) &= 2\lambda x \\ k\,C_{k}^{\lambda}(x) &= 2x(k+\lambda-1)\,C_{k-1}^{\lambda}(x) - (k+2\lambda-2)\,C_{k-2}^{\lambda}(x) \end{aligned} \right.$$ y, para \(k = 2..n\), \(C_{k} = [2x(k+\lambda-1)C_{k-1} - (k+2\lambda-2)C_{k-2}] / k\). Casos especiales: con \(\lambda = 1/2\) se obtienen los polinomios de Legendre \(P_{n}\), y con \(\lambda = 1\), los polinomios de Chebyshev de segunda especie \(U_{n}\).
Ejemplo resuelto
Con n=3 y λ=2, la recurrencia da como resultado $$C_{3}^{2}(x) = 32x^{3} - 12x.$$ En \(x = -1\) esto vale $$32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20,$$ que es la primera fila de la tabla. En \(x = 0\) el valor es 0; en \(x = 0.5\) es \(32(0.125) - 6 = -2\); y en \(x = 1\) es \(32 - 12 = 20\).
Preguntas frecuentes
¿El polinomio está definido fuera de [-1, 1]? Sí. El polinomio está definido para todo x real; el intervalo [-1, 1] es simplemente donde reside la ortogonalidad (y la ventana predeterminada de la gráfica). Fuera de él, los valores crecen rápidamente para valores altos de n.
¿Qué ocurre cuando λ = 0? Es el caso ultraesférico degenerado: la recurrencia se colapsa, por lo que la calculadora devuelve \(C_{0} = 1\) y \(C_{n} = 0\) para \(n \ge 1\). El límite con sentido está relacionado con los polinomios de Chebyshev de primera especie mediante $$\lim_{\lambda\to0} \frac{C_{n}^{\lambda}(x)}{\lambda} = \frac{2}{n} T_{n}(x).$$
¿Cuántas filas puedo generar? Elige cualquier cantidad ≥ 1; la herramienta limita las solicitudes muy grandes para mantener la fluidez. El incremento puede ser cero (todas las filas comparten el mismo x), pero lo habitual es que sea positivo.
