ゲーゲンバウアー多項式（超球多項式）とは
ゲーゲンバウアー多項式は超球多項式とも呼ばれ、直交多項式の一種である \(C_{n}^{\lambda}(x)\) のことです。ルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式のいずれをも一般化する関数で、区間 [-1, 1] 上で重み \((1 - x^{2})^{\lambda-1/2}\) に関して直交します。この計算機では多数の x の値について \(C_{n}^{\lambda}(x)\) をまとめて求め、(x, 値) の組からなる表と折れ線グラフを生成します。多項式の形状・零点・振動の様子を調べるのに便利です。
使い方
次数 n（0 以上の整数）、パラメータ λ（実数。標準的な直交性には λ > -1/2 が必要）、x の初期値、刻み幅（連続する x の間隔）、繰り返し回数（生成する行数）を入力します。計算機は i = 0 〜 count-1 について \(x_i = \text{初期値} + i \cdot \text{刻み幅}\) を順に求め、各点で多項式の値を計算します。初期設定（n=3、λ=2、x は -1 から、刻み 0.02、101 行）では、-1 から +1 までの直交範囲全体を一度に走査できます。
計算式の解説
ガンマ関数や超幾何関数を用いる形ではなく、この計算機は数値的に安定した三項漸化式を使用します。すなわち $$\left\{ \begin{aligned} C_{0}^{\lambda}(x) &= 1 \\ C_{1}^{\lambda}(x) &= 2\lambda x \\ k\,C_{k}^{\lambda}(x) &= 2x(k+\lambda-1)\,C_{k-1}^{\lambda}(x) - (k+2\lambda-2)\,C_{k-2}^{\lambda}(x) \end{aligned} \right.$$ とし、k = 2 〜 n に対して \(C_{k} = [2x(k+\lambda-1)C_{k-1} - (k+2\lambda-2)C_{k-2}] / k\) で計算します。特別な場合として、λ = 1/2 のときはルジャンドル多項式 \(P_{n}\)、λ = 1 のときは第二種チェビシェフ多項式 \(U_{n}\) に一致します。
計算例
n=3、λ=2 の場合、漸化式から \(C_{3}^{2}(x) = 32x^{3} - 12x\) が得られます。x = -1 では \(32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20\) となり、これが表の最初の行の値です。x = 0 では値は 0、x = 0.5 では \(32(0.125) - 6 = -2\)、x = 1 では \(32 - 12 = 20\) となります。
よくある質問
[-1, 1] の外でも多項式は定義されますか？ はい。多項式はすべての実数 x について定義されています。区間 [-1, 1] はあくまで直交性が成り立つ範囲（および初期グラフの表示範囲）です。この区間の外では、n が大きいほど値は急激に大きくなります。
λ = 0 のときはどうなりますか？ これは超球多項式の退化した場合で、漸化式が崩れてしまいます。そのため計算機は \(C_{0} = 1\)、n ≥ 1 では \(C_{n} = 0\) を返します。意味のある極限としては、\(\lim_{\lambda\to 0} C_{n}^{\lambda}(x)/\lambda = (2/n) T_{n}(x)\) という形で第一種チェビシェフ多項式と関係づけられます。
行は何行まで生成できますか？ 1 以上であれば任意の回数を指定できます。ただし応答性を保つため、極端に大きい指定には上限が設けられています。刻み幅は 0 でも構いません（その場合すべての行が同じ x になります）が、通常は正の値を使います。
