多項式の筆算（割り算）とは？
多項式の筆算は、数で習った「割り算の筆算」を多項式に応用したものです。割られる多項式 \(P(x)\) と割る多項式 \(D(x)\) が与えられたとき、次の関係式 $$P(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x)$$ を満たす商 \(Q(x)\) と余り \(R(x)\) を求めます。ここで \(R(x)\) の次数は必ず \(D(x)\) の次数より低くなります。この計算ツールは、何次の割られる式・割る式にも対応しています。
このツールの使い方
各多項式の係数を、最高次の項から定数項に向かって順に、スペース区切りで入力します。存在しない次数の項は 0 を必ず入れてください。たとえば \(x^3 - 3x + 5\) には \(x^2\) の項がないので、1 0 -3 5 と入力します。割る式 \(x - 2\) は 1 -2 と入力します。「計算」を押すと、商と余りが表示されます。
計算の仕組み
各ステップでは、現在の割られる式の最高次の項を割る式の最高次の項で割り、次の商の項を求めます。その項を割る式全体に掛け、割られる式から引き算します。これを、次数が一つ下がった新しい多項式に対して繰り返します。途中の多項式の次数が割る式の次数より低くなったところで、残ったものが余りになります。
具体例で確認
\(x^2 - 3x + 5\) を \(x - 2\) で割ってみましょう。割られる式に 1 -3 5、割る式に 1 -2 を入力します。まず \(x^2 \div x = x\)。\(x(x-2)=x^2-2x\) を引くと \(-x + 5\) が残ります。次に \(-x \div x = -1\)。\(-1(x-2)=-x+2\) を引くと \(3\) が残ります。したがって \(Q(x) = x - 1\)、\(R(x) = 3\) となり、 $$x^2-3x+5 = (x-2)(x-1) + 3$$ が成り立ちます。
よくある質問
割る式の次数が割られる式より高い場合は？ 商は 0 になり、割られる式がそのまま余りになります。
存在しない項はどう書けばよいですか？ ない次数の係数には 0 を入れ、すべての位置を順番どおりに保ってください。
余りが 0 なら、割る式は因数になっていますか？ はい。\(R(x) = 0\) であれば、割る式は割られる式を割り切る（因数である）ことを意味します。
