बहुपद दीर्घ भाग क्या है?
बहुपद दीर्घ भाग (Polynomial Long Division) वही प्रक्रिया है जो आपने संख्याओं की लंबी भाग विधि में सीखी थी, बस यह बीजगणित में लागू होती है। जब आपके पास एक भाज्य बहुपद \(P(x)\) और एक भाजक बहुपद \(D(x)\) हो, तो यह विधि एक भागफल \(Q(x)\) और एक शेषफल \(R(x)\) देती है जो इस सर्वसमिका को संतुष्ट करते हैं — $$P(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x)$$, जहाँ \(R(x)\) की घात (degree) \(D(x)\) की घात से हमेशा कम होती है। यह कैलकुलेटर किसी भी घात के भाज्य और भाजक को संभाल लेता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
प्रत्येक बहुपद के गुणांक सबसे ऊँची घात वाले पद से लेकर अचर पद तक, स्पेस से अलग करके लिखें। जो भी घात अनुपस्थित हो उसके लिए 0 ज़रूर डालें। उदाहरण के लिए, \(x^3 - 3x + 5\) में \(x^2\) वाला पद नहीं है, इसलिए आप लिखेंगे 1 0 -3 5। भाजक \(x - 2\) को 1 -2 के रूप में लिखें। अब "गणना करें" दबाएँ और भागफल तथा शेषफल देखें।
सूत्र की व्याख्या
हर चरण में आप मौजूदा भाज्य के अग्रणी पद (leading term) को भाजक के अग्रणी पद से भाग देकर भागफल का अगला पद पाते हैं। फिर पूरे भाजक को उस पद से गुणा करके भाज्य में से घटाते हैं, और बचे हुए नए, कम घात वाले बहुपद के साथ यही प्रक्रिया दोहराते हैं। जब चलते बहुपद की घात भाजक की घात से नीचे चली जाती है, तब जो बचता है वही शेषफल होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(x^2 - 3x + 5\) को \(x - 2\) से भाग दें। भाज्य 1 -3 5 और भाजक 1 -2 टाइप करें। पहले, \(x^2 \div x = x\); अब \(x(x-2) = x^2 - 2x\) घटाने पर बचता है \(-x + 5\)। फिर \(-x \div x = -1\); अब \(-1(x-2) = -x + 2\) घटाने पर बचता है \(3\)। तो $$Q(x) = x - 1 \quad \text{और} \quad R(x) = 3,$$ यानी \(x^2 - 3x + 5 = (x-2)(x-1) + 3\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर भाजक की घात भाज्य से ज़्यादा हो तो? तब भागफल \(0\) होता है और पूरा भाज्य ही शेषफल बन जाता है।
अनुपस्थित पद कैसे लिखें? जिस भी घात का पद नहीं है, उसके गुणांक के स्थान पर 0 लिखें और हर स्थान को क्रम में बनाए रखें।
क्या शेषफल 0 होने का मतलब है कि भाजक एक गुणनखंड है? हाँ — अगर \(R(x) = 0\) है, तो भाजक भाज्य को पूरी तरह विभाजित कर देता है।
