अभिलाक्षणिक बहुपद कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

मैट्रिक्स का आकार 2×2 3×3

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

2×2 मैट्रिक्स के लिए केवल ऊपरी-बाएँ चार अवयव (a11, a12, a21, a22) ही उपयोग होते हैं।

परिणाम

अभिलाक्षणिक बहुपद p(λ)

1λ² -4λ +3

= 0

λ³ का गुणांक	0
λ² का गुणांक	1
λ¹ का गुणांक	-4
λ⁰ (अचर पद)	3
ट्रेस tr(A)	4
सारणिक det(A)	3

अभिलाक्षणिक बहुपद क्या है?

किसी वर्ग मैट्रिक्स A का अभिलाक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ I तत्समक मैट्रिक्स (identity matrix) है और \(\lambda\) एक अदिश चर (scalar variable) है। इस बहुपद के मूल (roots) ही A के आइगेनमान (eigenvalues) होते हैं, और इसी कारण यह रैखिक बीजगणित, अवकल समीकरण, स्थायित्व विश्लेषण और क्वांटम यांत्रिकी की नींव माना जाता है। यह कैलकुलेटर 2×2 और 3×3 दोनों तरह के मैट्रिक्स पर काम करता है और बहुपद के गुणांकों के साथ-साथ ट्रेस तथा सारणिक भी लौटाता है।

अभिलाक्षणिक बहुपद \(\det(A - \lambda I)\) से आता है, विकर्ण पर \(\lambda\) घटाकर।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सबसे पहले मैट्रिक्स का आकार चुनें (2×2 या 3×3), फिर हर सेल में उसका लेबल देखकर संगत मान दर्ज करें। 2×2 मैट्रिक्स के लिए केवल a11, a12, a21 और a22 का उपयोग होता है; बाकी सेल अनदेखे रह जाते हैं। 'Calculate' दबाते ही आपको मानक रूप में लिखा बहुपद और उसका प्रत्येक गुणांक दिखाई देगा।

सूत्र

2×2 मैट्रिक्स के लिए परिणाम संक्षिप्त होता है:

$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$

जहाँ \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\) और \(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\) होता है।

3×3 मैट्रिक्स के लिए:

$$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$

जहाँ \(\operatorname{tr}(A)\) विकर्ण के अवयवों का योग है और \(m\) तीनों मुख्य 2×2 गौण-सारणिकों (principal minors) का योग है — ये गौण-सारणिक विकर्ण से होकर गुजरने वाली एक मेल खाती पंक्ति और स्तंभ को हटाकर प्राप्त किए जाते हैं।

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2×2 मैट्रिक्स के लिए बहुपद \(\lambda^{2} - (\text{ट्रेस})\lambda + (\text{सारणिक})\) होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए 2×2 मैट्रिक्स [[2, 1], [1, 2]] दिया गया है। इसका ट्रेस \(2 + 2 = 4\) है और सारणिक \(2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\) है। अतः \(p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3\), जिसका गुणनखंडन \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\) के रूप में होता है और आइगेनमान 1 तथा 3 प्राप्त होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अभिलाक्षणिक बहुपद के मूल क्या होते हैं? ये मैट्रिक्स के आइगेनमान (eigenvalues) होते हैं।

3×3 के लिए अग्रणी गुणांक −1 क्यों होता है? क्योंकि विषम आकार के मैट्रिक्स के लिए \(\det(A - \lambda I)\) का प्रसार करने पर \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\) का गुणनखंड आता है। कई पुस्तकें पूरे बहुपद को −1 से गुणा करके इसे मोनिक (monic) बना देती हैं; दोनों ही रूपों के मूल एक समान रहते हैं।

क्या यह असममित (non-symmetric) मैट्रिक्स पर भी काम करता है? हाँ — सूत्र हर अवयव का उपयोग करता है, इसलिए कोई भी वास्तविक 2×2 या 3×3 मैट्रिक्स इसमें चलता है।