गेगेनबाउर (अल्ट्रास्फेरिकल) बहुपद क्या है?
गेगेनबाउर बहुपद, जिन्हें अल्ट्रास्फेरिकल बहुपद भी कहा जाता है, ऑर्थोगोनल बहुपदों \(C_{n}^{\lambda}(x)\) का एक परिवार हैं जो लीजेंड्र और चेबीशेव दोनों बहुपदों का सामान्यीकरण करते हैं। ये [-1, 1] अंतराल पर भार \((1 - x^{2})^{\lambda-1/2}\) के साथ ऑर्थोगोनल होते हैं। यह कैलकुलेटर एक ही बार में कई x मानों पर \(C_{n}^{\lambda}(x)\) का मूल्यांकन करता है और (x, मान) जोड़ियों की एक टेबल तथा एक लाइन ग्राफ़ बनाता है, जिससे आप बहुपद का आकार, उसके मूल (roots) और दोलन (oscillation) आसानी से समझ सकते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
घात (degree) n (एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक), पैरामीटर λ (वास्तविक संख्या; मानक ऑर्थोगोनैलिटी के लिए \(\lambda > -1/2\) ज़रूरी है), x का प्रारंभिक मान, वृद्धि (increment) (क्रमिक x मानों के बीच का अंतराल), और पुनरावृत्तियों की संख्या (कितनी पंक्तियाँ बनानी हैं) दर्ज करें। कैलकुलेटर \(i = 0 \dots \text{count}-1\) के लिए $$x_{i} = \text{initialX} + i\cdot\text{stepX}$$ के अनुसार चलता है और हर बिंदु पर बहुपद का मान निकालता है। डिफ़ॉल्ट मान (n=3, λ=2, x का प्रारंभ -1 से, step 0.02, 101 पंक्तियाँ) पूरी ऑर्थोगोनैलिटी सीमा यानी -1 से +1 तक को कवर कर देते हैं।
सूत्र की व्याख्या
गामा/हाइपरज्यामितीय रूप के बजाय, यह कैलकुलेटर संख्यात्मक रूप से स्थिर तीन-पद पुनरावृत्ति (three-term recurrence) का उपयोग करता है:
$$\left\{ \begin{aligned} C_{0}^{\lambda}(x) &= 1 \\ C_{1}^{\lambda}(x) &= 2\lambda x \\ k\,C_{k}^{\lambda}(x) &= 2x(k+\lambda-1)\,C_{k-1}^{\lambda}(x) - (k+2\lambda-2)\,C_{k-2}^{\lambda}(x) \end{aligned} \right.$$और \(k = 2 \dots n\) के लिए, \(C_{k} = [2x(k+\lambda-1)C_{k-1} - (k+2\lambda-2)C_{k-2}] / k\)। विशेष स्थितियाँ: \(\lambda = 1/2\) लीजेंड्र बहुपद \(P_{n}\) देता है, और \(\lambda = 1\) दूसरे प्रकार के चेबीशेव बहुपद \(U_{n}\) देता है।
हल किया गया उदाहरण
n=3 और λ=2 के साथ पुनरावृत्ति से प्राप्त होता है $$C_{3}^{2}(x) = 32x^{3} - 12x.$$ x = -1 पर यह \(32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20\) है, जो टेबल की पहली पंक्ति है। x = 0 पर मान 0 है, x = 0.5 पर यह \(32(0.125) - 6 = -2\) है, और x = 1 पर यह \(32 - 12 = 20\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह बहुपद [-1, 1] के बाहर भी परिभाषित है? हाँ। यह बहुपद सभी वास्तविक x के लिए परिभाषित है; [-1, 1] अंतराल केवल वह जगह है जहाँ ऑर्थोगोनैलिटी (और डिफ़ॉल्ट ग्राफ़ विंडो) रहती है। इसके बाहर, बड़े n के लिए मान तेज़ी से बढ़ते हैं।
λ = 0 पर क्या होता है? यह अपभ्रष्ट (degenerate) अल्ट्रास्फेरिकल स्थिति है: पुनरावृत्ति ढह जाती है, इसलिए कैलकुलेटर \(C_{0} = 1\) और \(n \ge 1\) के लिए \(C_{n} = 0\) लौटाता है। इसकी सार्थक सीमा पहले प्रकार के चेबीशेव बहुपद से इस प्रकार जुड़ी है: $$\lim_{\lambda\to0} \frac{C_{n}^{\lambda}(x)}{\lambda} = \frac{2}{n} T_{n}(x).$$
मैं कितनी पंक्तियाँ बना सकता हूँ? कोई भी संख्या \(\ge 1\) चुनें; प्रदर्शन (responsiveness) बनाए रखने के लिए टूल बहुत बड़े अनुरोधों को सीमित कर देता है। वृद्धि शून्य भी हो सकती है (तब सभी पंक्तियों में एक ही x होगा), पर आमतौर पर यह धनात्मक रखी जाती है।
