什么是盖根鲍尔（超球）多项式？
盖根鲍尔多项式又称超球多项式，是一族正交多项式 \(C_n^{\lambda}(x)\)，它同时推广了勒让德多项式和切比雪夫多项式。它们在区间 [-1, 1] 上、以权函数 \((1 - x^2)^{\lambda-1/2}\) 满足正交性。本计算器可一次性在多个 x 取值处求出 \(C_n^{\lambda}(x)\)，生成一份 (x, 函数值) 的数据表和一条折线图，方便你研究该多项式的形态、零点和振荡规律。
使用方法
依次填入次数 n（非负整数）、参数 λ（实数；要满足标准正交性需 λ > -1/2）、x 的起始值、步长（相邻两个 x 之间的间隔）以及计算次数（即生成多少行）。计算器会按 $$x_i = \text{起始值} + i\cdot\text{步长}, \quad i = 0,\dots,\text{次数}-1$$ 逐点迭代，并在每个点上求值。默认设置（n=3，λ=2，x 从 -1 开始，步长 0.02，共 101 行）正好覆盖从 -1 到 +1 的完整正交区间。
公式说明
计算器没有采用伽马函数／超几何函数的写法，而是使用数值上更稳定的三项递推公式：\(C_0^{\lambda}(x) = 1\)，\(C_1^{\lambda}(x) = 2\lambda x\)，当 \(k = 2..n\) 时，$$C_k = \frac{2x(k+\lambda-1)C_{k-1} - (k+2\lambda-2)C_{k-2}}{k}.$$ 两个特例：\(\lambda = 1/2\) 时得到勒让德多项式 \(P_n\)，\(\lambda = 1\) 时得到第二类切比雪夫多项式 \(U_n\)。
实例演算
取 n=3、λ=2，由递推公式可得 $$C_3^{2}(x) = 32x^3 - 12x.$$ 当 \(x = -1\) 时，结果为 \(32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20\)，这正是表格的第一行；当 \(x = 0\) 时函数值为 0；当 \(x = 0.5\) 时为 \(32(0.125) - 6 = -2\)；当 \(x = 1\) 时为 \(32 - 12 = 20\)。
常见问题
该多项式在 [-1, 1] 之外有定义吗？有。该多项式对所有实数 x 都有定义；区间 [-1, 1] 只是其正交性（以及默认绘图窗口）所在的范围。在该区间之外，当 n 较大时函数值会迅速增大。
当 λ = 0 时会怎样？这是超球多项式的退化情形：此时递推公式失效，因此计算器返回 \(C_0 = 1\)，而当 \(n \ge 1\) 时 \(C_n = 0\)。有意义的极限通过第一类切比雪夫多项式给出：$$\lim_{\lambda\to 0} \frac{C_n^{\lambda}(x)}{\lambda} = \frac{2}{n} T_n(x).$$
最多能生成多少行？可以填入任意 \(\ge 1\) 的次数；为保证响应速度，工具会对过大的请求进行限制。步长可以为 0（此时各行的 x 相同），但通常应取正值。
