Đa thức Gegenbauer (Siêu cầu) là gì?
Đa thức Gegenbauer, hay còn gọi là đa thức siêu cầu, là một họ đa thức trực giao \(C_{n}^{\lambda}(x)\) tổng quát hóa cả đa thức Legendre lẫn đa thức Chebyshev. Chúng trực giao trên đoạn [-1, 1] với hàm trọng số \((1 - x^{2})^{\lambda-1/2}\). Công cụ này tính \(C_{n}^{\lambda}(x)\) tại nhiều giá trị x cùng lúc, dựng nên bảng các cặp (x, giá trị) cùng một đồ thị đường giúp bạn khảo sát hình dạng, các nghiệm và sự dao động của đa thức.
Cách sử dụng
Nhập bậc n (số nguyên không âm), tham số λ (số thực; tính trực giao chuẩn yêu cầu λ > -1/2), giá trị x ban đầu, bước nhảy (khoảng cách giữa các giá trị x liên tiếp) và số lần lặp (số dòng cần tạo). Máy tính lặp $$x_i = \text{x\_ban\_đầu} + i \cdot \text{bước\_nhảy}$$ với i = 0 .. số_dòng-1 và tính giá trị đa thức tại từng điểm. Các giá trị mặc định (n=3, λ=2, x bắt đầu từ -1, bước 0,02, 101 dòng) quét trọn cửa sổ trực giao từ -1 đến +1.
Giải thích công thức
Thay vì dùng dạng hàm gamma/siêu bội, máy tính áp dụng công thức truy hồi ba số hạng ổn định về mặt số học: $$\begin{aligned} C_{0}^{\lambda}(x) &= 1 \\ C_{1}^{\lambda}(x) &= 2\lambda x \\ C_{k} &= \frac{2x(k+\lambda-1)C_{k-1} - (k+2\lambda-2)C_{k-2}}{k} \end{aligned}$$ với k = 2..n. Các trường hợp đặc biệt: \(\lambda = 1/2\) cho ra đa thức Legendre \(P_{n}\), còn \(\lambda = 1\) cho ra đa thức Chebyshev loại hai \(U_{n}\).
Ví dụ minh họa
Với n=3 và λ=2, công thức truy hồi cho ra $$C_{3}^{2}(x) = 32x^{3} - 12x.$$ Tại x = -1, ta có \(32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20\), chính là dòng đầu tiên của bảng. Tại x = 0 giá trị bằng 0; tại x = 0,5 là \(32(0{,}125) - 6 = -2\); và tại x = 1 là \(32 - 12 = 20\).
Câu hỏi thường gặp
Đa thức có xác định ngoài đoạn [-1, 1] không? Có. Đa thức xác định với mọi x thực; đoạn [-1, 1] chỉ là nơi tính trực giao (và cửa sổ đồ thị mặc định) tồn tại. Bên ngoài đoạn này, giá trị tăng rất nhanh khi n lớn.
Điều gì xảy ra khi λ = 0? Đây là trường hợp siêu cầu suy biến: công thức truy hồi sụp đổ, nên máy tính trả về \(C_{0} = 1\) và \(C_{n} = 0\) với n ≥ 1. Giới hạn có ý nghĩa liên hệ với đa thức Chebyshev loại một qua công thức $$\lim_{\lambda\to 0} \frac{C_{n}^{\lambda}(x)}{\lambda} = \frac{2}{n} T_{n}(x).$$
Tôi có thể tạo bao nhiêu dòng? Chọn số dòng tùy ý ≥ 1; công cụ giới hạn những yêu cầu quá lớn để đảm bảo phản hồi nhanh. Bước nhảy có thể bằng 0 (mọi dòng dùng chung một giá trị x) nhưng thông thường là số dương.
