Qu'est-ce que le polynôme de Gegenbauer (ultrasphérique) ?
Les polynômes de Gegenbauer, aussi appelés polynômes ultrasphériques, forment une famille de polynômes orthogonaux \(C_{n}^{\lambda}(x)\) qui généralisent à la fois les polynômes de Legendre et ceux de Tchebychev. Ils sont orthogonaux sur l'intervalle [-1, 1] avec le poids \((1 - x^{2})^{\lambda-1/2}\). Ce calculateur évalue \(C_{n}^{\lambda}(x)\) sur de nombreuses valeurs de x en une seule fois, construisant une table de couples (x, valeur) ainsi qu'un graphique linéaire pour étudier la forme du polynôme, ses racines et ses oscillations.
Comment l'utiliser
Saisissez le degré n (entier positif ou nul), le paramètre λ (réel ; l'orthogonalité usuelle requiert λ > -1/2), la valeur initiale de x, le pas (l'écart entre deux valeurs successives de x) et le nombre de répétitions (le nombre de lignes à générer). Le calculateur parcourt $$x_i = \text{Initial }x + i\cdot\text{Increment}, \quad i = 0,\dots,\text{Reps}-1$$ et évalue le polynôme en chaque point. Les valeurs par défaut (n=3, λ=2, x à partir de -1, pas 0,02, 101 lignes) balaient toute la fenêtre d'orthogonalité, de -1 à +1.
La formule expliquée
Plutôt que la forme à base de fonctions gamma ou hypergéométriques, le calculateur s'appuie sur la relation de récurrence à trois termes, numériquement stable : $$\left\{ \begin{aligned} C_{0}^{\lambda}(x) &= 1 \\ C_{1}^{\lambda}(x) &= 2\lambda x \\ k\,C_{k}^{\lambda}(x) &= 2x(k+\lambda-1)\,C_{k-1}^{\lambda}(x) - (k+2\lambda-2)\,C_{k-2}^{\lambda}(x) \end{aligned} \right.$$ pour \(k = 2..n\). Cas particuliers : \(\lambda = 1/2\) donne les polynômes de Legendre \(P_{n}\), et \(\lambda = 1\) donne les polynômes de Tchebychev de deuxième espèce \(U_{n}\).
Exemple détaillé
Avec n=3 et λ=2, la récurrence donne $$C_{3}^{2}(x) = 32x^{3} - 12x.$$ En \(x = -1\), cela vaut $$32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20,$$ soit la première ligne de la table. En \(x = 0\) la valeur est 0, en \(x = 0{,}5\) elle vaut \(32(0{,}125) - 6 = -2\), et en \(x = 1\) elle vaut \(32 - 12 = 20\).
FAQ
Le polynôme est-il défini en dehors de [-1, 1] ? Oui. Le polynôme est défini pour tout x réel ; l'intervalle [-1, 1] est simplement le domaine où vit l'orthogonalité (et la fenêtre graphique par défaut). Au-delà, les valeurs croissent rapidement pour les grands n.
Que se passe-t-il en λ = 0 ? C'est le cas ultrasphérique dégénéré : la récurrence s'effondre, le calculateur renvoie donc \(C_{0} = 1\) et \(C_{n} = 0\) pour \(n \ge 1\). La limite pertinente relie ce cas aux polynômes de Tchebychev de première espèce via $$\lim_{\lambda\rightarrow 0} \frac{C_{n}^{\lambda}(x)}{\lambda} = \frac{2}{n} T_{n}(x).$$
Combien de lignes puis-je générer ? Choisissez n'importe quel nombre \(\ge 1\) ; l'outil plafonne les demandes très importantes pour rester réactif. Le pas peut être nul (toutes les lignes partagent alors le même x), mais il est en général positif.
