Ce que fait ce calculateur
Cet outil dresse une table du polynôme de Laguerre associé (généralisé) \(L_{n}^{(\alpha)}(x)\) sur une suite de valeurs de x. Vous indiquez le degré n, le paramètre α, une valeur initiale de x, le pas et le nombre de lignes à produire. Le calculateur renvoie la valeur du polynôme pour chaque x. Il s'agit de mathématiques pures, valables partout — aucune hypothèse propre à un pays ou à une région.
Comment l'utiliser
Saisissez n (un entier positif ou nul), α (un réel quelconque ; le cas d'orthogonalité standard utilise α > -1), la valeur initiale de x, l'incrément et le nombre de lignes. Les valeurs de x sont générées selon \(x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX}\) pour \(i = 0, 1, \ldots, \text{count}-1\), et chaque valeur \(L_{n}^{(\alpha)}(x_i)\) est calculée puis affichée.
La formule expliquée
La forme close est une somme finie : $$L_{n}^{(\alpha)}(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n+\alpha}{n-k} \frac{x^{k}}{k!}$$ où \(\binom{n+\alpha}{n-k}\) est le coefficient binomial généralisé. Pour des raisons de stabilité numérique, le calculateur s'appuie plutôt sur la récurrence à trois termes : \(L_0 = 1\), \(L_1 = 1 + \alpha - x\), et $$(k+1)L_{k+1} = (2k+1+\alpha-x)L_{k} - (k+\alpha)L_{k-1}.$$ On évite ainsi les factorielles trop grandes et les pertes de précision dès que n est moyen ou élevé.
Exemple détaillé
Avec les valeurs par défaut n = 3 et α = 1, le polynôme explicite s'écrit $$L_{3}^{(1)}(x) = 4 - 6x + 2x^{2} - \tfrac{1}{6}x^{3}.$$ En \(x = 0\), la valeur vaut 4. En \(x = 0{,}1\), elle vaut \(4 - 0{,}6 + 0{,}02 - 0{,}0001667 \approx 3{,}419833\). En \(x = 1\), elle est égale à \(4 - 6 + 2 - 0{,}166667 = -0{,}166667\).
Polynômes de Laguerre associés du premier ordre
Les polynômes de Laguerre associés (généralisés) \(L_n^{(\alpha)}(x)\) sont des polynômes de degré \(n\) en \(x\) dont les coefficients dépendent du paramètre \(\alpha\). La forme fermée est
$$L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n+\alpha}{n-k}\frac{x^k}{k!}.$$Les cinq premiers, écrits sous forme générale \(\alpha\), sont :
| \(n\) | \(L_n^{(\alpha)}(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(-x+(\alpha+1)\) |
| 2 | \(\dfrac{x^2}{2}-(\alpha+2)x+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)}{2}\) |
| 3 | \(-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)x^2}{2}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}\) |
| 4 | \(\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{(\alpha+4)x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)(\alpha+4)x^2}{4}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)x}{6}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)}{24}\) |
Cas particulier \(\alpha=0\). En fixant \(\alpha=0\), on retrouve les polynômes de Laguerre ordinaires \(L_n(x)=L_n^{(0)}(x)\) :
| \(n\) | \(L_n(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(1-x\) |
| 2 | \(1-2x+\tfrac12 x^2\) |
| 3 | \(1-3x+\tfrac32 x^2-\tfrac16 x^3\) |
| 4 | \(1-4x+3x^2-\tfrac23 x^3+\tfrac{1}{24}x^4\) |
Le coefficient dominant est toujours \(\dfrac{(-1)^n}{n!}\), indépendant de \(\alpha\).
Termes clés et variables
- Degré \(n\)
- Un entier non-négatif donnant le degré du polynôme ; \(L_n^{(\alpha)}(x)\) possède exactement \(n\) racines. Dans la calculatrice, c'est le champ degree.
- Paramètre \(\alpha\)
- Un nombre réel (généralement \(\alpha>-1\)) qui décale les coefficients binomiaux et le poids d'orthogonalité. Le champ alpha. Avec \(\alpha=0\), les polynômes se réduisent aux polynômes de Laguerre ordinaires.
- Argument \(x\)
- Le point auquel le polynôme est évalué. Le tableau balaye \(x_i=\text{startX}+i\cdot\text{stepX}\). Le domaine naturel pour l'orthogonalité est \((0,\infty)\).
- Coefficient binomial généralisé
- Pour un indice supérieur réel, \(\binom{n+\alpha}{n-k}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(k+\alpha+1)\,(n-k)!}\), qui étend \(\binom{m}{j}=m!/(j!(m-j)!)\) à des \(\alpha\) non-entiers via la fonction Gamma.
- Récurrence à trois termes
- La façon stable de générer les polynômes : \((k+1)L_{k+1}^{(\alpha)}=(2k+1+\alpha-x)L_k^{(\alpha)}-(k+\alpha)L_{k-1}^{(\alpha)}\), en partant de \(L_0^{(\alpha)}=1\) et \(L_1^{(\alpha)}=1+\alpha-x\).
- Orthogonalité sur \((0,\infty)\)
- Les polynômes sont mutuellement orthogonaux : \(\displaystyle\int_0^\infty L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)\,w(x)\,dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}\).
- Fonction de poids \(w(x)=x^{\alpha}e^{-x}\)
- Le facteur par rapport auquel l'orthogonalité est vérifiée ; pour \(\alpha=0\), c'est le poids exponentiel simple \(e^{-x}\). La convergence de l'intégrale requiert \(\alpha>-1\).
Interprétation du tableau
Lire un tableau calculé de \(L_n^{(\alpha)}(x)\) devient plus facile avec ces faits :
- Nombre de racines réelles. Pour \(\alpha>-1\), \(L_n^{(\alpha)}(x)\) possède exactement \(n\) zéros réels simples, tous situés dans l'intervalle ouvert \((0,\infty)\). Si votre colonne du tableau traverse zéro \(n\) fois, vous avez localisé tous les zéros.
- Changements de signe. Puisque tous les zéros sont simples, le polynôme change de signe à chacun d'eux. Entre deux zéros consécutifs, les valeurs conservent un signe constant, donc un basculement de signe entre lignes adjacentes encadre une racine — utile comme intervalle initial pour un solveur de racines par dichotomie ou Newton.
- Valeur à l'origine. Tout polynôme de Laguerre associé satisfait \(L_n^{(\alpha)}(0)=\binom{n+\alpha}{n}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!\,\Gamma(\alpha+1)}\). Par exemple, avec \(n=4,\ \alpha=0\), la première ligne à \(x=0\) est 1, et avec \(n=4,\ \alpha=2\), c'est \(\binom{6}{4}=\) 15.
- Mécanique quantique. La partie radiale de la fonction d'onde de l'atome d'hydrogène est construite à partir de \(L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)}\!\left(2r/(na_0)\right)\) ; les nœuds du polynôme correspondent aux nœuds radiaux de l'orbitale.
- Quadrature de Gauss–Laguerre. Les zéros listés dans le tableau sont exactement les abscisses utilisées pour approcher \(\int_0^\infty f(x)\,x^{\alpha}e^{-x}\,dx\), avec des poids dérivés des mêmes polynômes.
Ceci est une information de référence mathématique générale ; vérifiez toute valeur sur laquelle vous vous appuyez dans une application critique.
FAQ
Que se passe-t-il si n = 0 ? \(L_{0}^{(\alpha)}(x) = 1\) pour tout x et tout α.
α peut-il être négatif ou non entier ? Oui — la somme comme la récurrence fonctionnent pour n'importe quel réel α. L'orthogonalité classique sur \((0, \infty)\) exige toutefois α > -1.
Le pas peut-il être nul ou négatif ? Oui. Un pas négatif fait décroître x ; un pas nul répète la même valeur de x et produit une table dégénérée (à x constant).
