यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल सहचर (सामान्यीकृत) लाजर बहुपद \(L_{n}^{(\alpha)}(x)\) की एक सारणी x के क्रमिक मानों पर तैयार करता है। आप घात n, पैरामीटर α, प्रारंभिक x, स्टेप का आकार और कितनी पंक्तियाँ बनानी हैं — ये मान देते हैं, और कैलकुलेटर हर x पर बहुपद का मान लौटा देता है। यह शुद्ध गणित है और हर जगह समान रूप से लागू होता है — इसमें किसी क्षेत्र या देश-विशेष की कोई शर्त नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
n दर्ज करें (एक अऋणात्मक पूर्णांक), फिर α (कोई भी वास्तविक संख्या; मानक लांबकोणीयता की स्थिति के लिए \(\alpha > -1\) लिया जाता है), x का प्रारंभिक मान, वृद्धि (स्टेप) और पंक्तियों की संख्या। x के मान इस प्रकार बनते हैं: $$x_{i} = \text{startX} + i \times \text{stepX}$$ जहाँ \(i = 0, 1, \ldots, \text{count}-1\), और हर मान \(L_{n}^{(\alpha)}(x_{i})\) की गणना करके सूची में दिखाया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
इसका संवृत रूप एक परिमित योग है: $$L_{n}^{(\alpha)}(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n+\alpha}{n-k} \frac{x^{k}}{k!}$$ जहाँ \(\binom{n+\alpha}{n-k}\) सामान्यीकृत द्विपद गुणांक है। संख्यात्मक स्थिरता के लिए कैलकुलेटर इसके बजाय तीन-पद पुनरावृत्ति का उपयोग करता है: $$L_{0} = 1, \quad L_{1} = 1 + \alpha - x, \quad (k+1)L_{k+1} = (2k+1+\alpha-x)L_{k} - (k+\alpha)L_{k-1}$$ इससे बड़े क्रमगुणित (factorial) और मानों के बीच कटाव-त्रुटि से बचा जाता है, जो मध्यम-से-बड़े n के लिए ज़रूरी है।
हल किया गया उदाहरण
डिफ़ॉल्ट मानों \(n = 3\), \(\alpha = 1\) के साथ स्पष्ट बहुपद बनता है $$L_{3}^{1}(x) = 4 - 6x + 2x^{2} - \tfrac{1}{6}x^{3}$$ \(x = 0\) पर मान 4 होता है। \(x = 0.1\) पर यह $$4 - 0.6 + 0.02 - 0.0001667 \approx 3.419833$$ आता है। \(x = 1\) पर यह $$4 - 6 + 2 - 0.166667 = -0.166667$$ के बराबर होता है।
प्रथम संबद्ध लाग्वेरे बहुपद
संबद्ध (सामान्यीकृत) लाग्वेरे बहुपद \(L_n^{(\alpha)}(x)\) डिग्री \(n\) के \(x\) के बहुपद हैं जिनके गुणांक पैरामीटर \(\alpha\) पर निर्भर करते हैं। बंद रूप है
$$L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n+\alpha}{n-k}\frac{x^k}{k!}.$$पहले पाँच, सामान्य \(\alpha\) रूप में लिखे गए, हैं:
| \(n\) | \(L_n^{(\alpha)}(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(-x+(\alpha+1)\) |
| 2 | \(\dfrac{x^2}{2}-(\alpha+2)x+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)}{2}\) |
| 3 | \(-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)x^2}{2}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}\) |
| 4 | \(\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{(\alpha+4)x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)(\alpha+4)x^2}{4}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)x}{6}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)}{24}\) |
विशेष स्थिति \(\alpha=0\)। \(\alpha=0\) सेट करने से सामान्य लाग्वेरे बहुपद \(L_n(x)=L_n^{(0)}(x)\) प्राप्त होते हैं:
| \(n\) | \(L_n(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(1-x\) |
| 2 | \(1-2x+\tfrac12 x^2\) |
| 3 | \(1-3x+\tfrac32 x^2-\tfrac16 x^3\) |
| 4 | \(1-4x+3x^2-\tfrac23 x^3+\tfrac{1}{24}x^4\) |
अग्रणी गुणांक सदैव \(\dfrac{(-1)^n}{n!}\) होता है, \(\alpha\) से स्वतंत्र।
मुख्य शर्तें और चर
- डिग्री \(n\)
- एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक जो बहुपद की डिग्री देता है; \(L_n^{(\alpha)}(x)\) के ठीक \(n\) मूल हैं। कैलकुलेटर में यह degree फ़ील्ड है।
- पैरामीटर \(\alpha\)
- एक वास्तविक संख्या (आमतौर पर \(\alpha>-1\)) जो द्विपद गुणांकों और ऑर्थोगोनैलिटी भार को स्थानांतरित करती है। alpha फ़ील्ड। \(\alpha=0\) के साथ बहुपद सामान्य लाग्वेरे बहुपदों तक कम हो जाते हैं।
- तर्क \(x\)
- वह बिंदु जिस पर बहुपद का मूल्यांकन किया जाता है। तालिका \(x_i=\text{startX}+i\cdot\text{stepX}\) को स्वीप करती है। ऑर्थोगोनैलिटी के लिए प्राकृतिक डोमेन \((0,\infty)\) है।
- सामान्यीकृत द्विपद गुणांक
- वास्तविक ऊपरी सूचकांक के लिए, \(\binom{n+\alpha}{n-k}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(k+\alpha+1)\,(n-k)!}\), जो \(\binom{m}{j}=m!/(j!(m-j)!)\) को गामा फ़ंक्शन के माध्यम से गैर-पूर्णांक \(\alpha\) तक बढ़ाता है।
- त्रि-पद पुनरावृत्ति
- बहुपदों को उत्पन्न करने का स्थिर तरीका: \((k+1)L_{k+1}^{(\alpha)}=(2k+1+\alpha-x)L_k^{(\alpha)}-(k+\alpha)L_{k-1}^{(\alpha)}\), \(L_0^{(\alpha)}=1\) और \(L_1^{(\alpha)}=1+\alpha-x\) से शुरू करके।
- \((0,\infty)\) पर ऑर्थोगोनैलिटी
- बहुपद पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल हैं: \(\displaystyle\int_0^\infty L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)\,w(x)\,dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}\)।
- भार फ़ंक्शन \(w(x)=x^{\alpha}e^{-x}\)
- वह कारक जिसके विरुद्ध ऑर्थोगोनैलिटी होती है; \(\alpha=0\) के लिए यह सरल घातांकीय भार \(e^{-x}\) है। इंटीग्रल के अभिसरण के लिए \(\alpha>-1\) की आवश्यकता है।
तालिका की व्याख्या
\(L_n^{(\alpha)}(x)\) की गणना की गई तालिका को पढ़ना इन तथ्यों के साथ आसान हो जाता है:
- वास्तविक मूलों की संख्या। \(\alpha>-1\) के लिए, \(L_n^{(\alpha)}(x)\) के ठीक \(n\) सरल वास्तविक शून्य हैं, सभी खुले अंतराल \((0,\infty)\) में स्थित हैं। यदि आपकी तालिका स्तंभ \(n\) बार शून्य को पार करती है, तो आपने उन सभी को खोज लिया है।
- चिह्न परिवर्तन। क्योंकि सभी शून्य सरल हैं, बहुपद प्रत्येक पर चिह्न बदलता है। दो क्रमागत शून्यों के बीच, मान एक स्थिर चिह्न रखते हैं, इसलिए आसन्न पंक्तियों के बीच एक चिह्न फ्लिप एक मूल को कोष्ठक में रखता है — एक द्विभाजन या न्यूटन मूल खोजक के लिए उपयोगी प्रारंभिक अंतराल के रूप में।
- मूल पर मान। प्रत्येक संबद्ध लाग्वेरे बहुपद \(L_n^{(\alpha)}(0)=\binom{n+\alpha}{n}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!\,\Gamma(\alpha+1)}\) को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, \(n=4,\ \alpha=0\) के साथ \(x=0\) पर पहली पंक्ति 1 है, और \(n=4,\ \alpha=2\) के साथ यह \(\binom{6}{4}=\) 15 है।
- क्वांटम यांत्रिकी। हाइड्रोजन-परमाणु तरंग फ़ंक्शन का रेडियल भाग \(L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)}\!\left(2r/(na_0)\right)\) से निर्मित है; बहुपद की नोड्स कक्षीय के रेडियल नोड्स के अनुरूप हैं।
- गॉस–लाग्वेरे क्वाड्रेचर। तालिका में सूचीबद्ध शून्य \(\int_0^\infty f(x)\,x^{\alpha}e^{-x}\,dx\) का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किए जाने वाले सरणियाँ हैं, समान बहुपदों से प्राप्त भार के साथ।
यह सामान्य गणितीय संदर्भ जानकारी है; किसी भी महत्वपूर्ण अनुप्रयोग में आप जिस मान पर निर्भर करते हैं उसकी पुष्टि करें।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर n = 0 हो तो? हर x और हर α के लिए \(L_{0}^{(\alpha)}(x) = 1\) रहता है।
क्या α ऋणात्मक या भिन्नात्मक (non-integer) हो सकता है? हाँ — योग और पुनरावृत्ति दोनों किसी भी वास्तविक α के लिए काम करते हैं। \((0, \infty)\) पर शास्त्रीय लांबकोणीयता के लिए \(\alpha > -1\) आवश्यक है।
क्या स्टेप शून्य या ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक स्टेप से x घटता जाता है; शून्य स्टेप वही x बार-बार दोहराता है और एक अपभ्रष्ट (स्थिर-x वाली) सारणी बनाता है।
