ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة بناء جدول لقيم كثيرة حدود لاغير المرافقة (المعمّمة) \(L_{n}^{(\alpha)}(x)\) على امتداد متتالية من قيم x. كل ما عليك إدخاله هو الدرجة n، والوسيط \(\alpha\)، وقيمة البداية لـ x، ومقدار الخطوة، وعدد الصفوف المطلوب توليدها. تُرجع الحاسبة قيمة كثيرة الحدود عند كل قيمة من قيم x. هذه أداة رياضية بحتة صالحة في كل مكان — فهي لا تستند إلى أي افتراضات خاصة بدولة أو منطقة بعينها.
طريقة الاستخدام
أدخل n (عدداً صحيحاً غير سالب)، و\(\alpha\) (أي عدد حقيقي؛ علماً أن حالة التعامد القياسية تتطلب \(\alpha > -1\))، وقيمة x الابتدائية، ومقدار الزيادة، وعدد الصفوف. تُولَّد قيم x وفق العلاقة $$x_{i} = \text{startX} + i \times \text{stepX}$$ من أجل \(i = 0, 1, \ldots, \text{count}-1\)، ثم تُحسب قيمة \(L_{n}^{(\alpha)}(x_{i})\) عند كل نقطة وتُدرج في الجدول.
شرح الصيغة
تُكتب الصيغة المغلقة على هيئة مجموع منتهٍ: $$L_{n}^{(\alpha)}(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n+\alpha}{n-k} \frac{x^{k}}{k!}$$ حيث \(\binom{n+\alpha}{n-k}\) هو المعامل الثنائي المعمّم. ولأجل الاستقرار العددي تعتمد الحاسبة بدلاً من ذلك على علاقة التكرار ذات الحدود الثلاثة: \(L_{0} = 1\)، و\(L_{1} = 1 + \alpha - x\)، و$$(k+1)L_{k+1} = (2k+1+\alpha-x)L_{k} - (k+\alpha)L_{k-1}$$ وهذا يتجنّب المضروبات الكبيرة وما يصاحب طرحها من فقدان للدقة عند قيم n المتوسطة والكبيرة.
مثال محلول
عند القيم الافتراضية n = 3 و\(\alpha = 1\)، تكون كثيرة الحدود الصريحة $$L_{3}^{(1)}(x) = 4 - 6x + 2x^{2} - \tfrac{1}{6}x^{3}.$$ فعند x = 0 تساوي القيمة 4. وعند x = 0.1 تساوي $$4 - 0.6 + 0.02 - 0.0001667 \approx 3.419833.$$ وعند x = 1 تساوي $$4 - 6 + 2 - 0.166667 = -0.166667.$$
كثيرات لاغويــر المرتبطــة الأولــى
كثيرات لاغويير المرتبطة (المعممة) \(L_n^{(\alpha)}(x)\) هي كثيرات حدود من الدرجة \(n\) بالنسبة إلى \(x\) تعتمد معاملاتها على المعاملة \(\alpha\). الصيغة المغلقة هي
$$L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n+\alpha}{n-k}\frac{x^k}{k!}.$$الخمسة الأولى، مكتوبة بشكل عام بـ \(\alpha\)، هي:
| \(n\) | \(L_n^{(\alpha)}(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(-x+(\alpha+1)\) |
| 2 | \(\dfrac{x^2}{2}-(\alpha+2)x+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)}{2}\) |
| 3 | \(-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)x^2}{2}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}\) |
| 4 | \(\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{(\alpha+4)x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)(\alpha+4)x^2}{4}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)x}{6}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)}{24}\) |
الحالة الخاصة \(\alpha=0\). بوضع \(\alpha=0\) نستعيد كثيرات لاغويير العادية \(L_n(x)=L_n^{(0)}(x)\):
| \(n\) | \(L_n(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(1-x\) |
| 2 | \(1-2x+\tfrac12 x^2\) |
| 3 | \(1-3x+\tfrac32 x^2-\tfrac16 x^3\) |
| 4 | \(1-4x+3x^2-\tfrac23 x^3+\tfrac{1}{24}x^4\) |
المعامل الرئيسي هو دائماً \(\dfrac{(-1)^n}{n!}\)، مستقل عن \(\alpha\).
المصطلحات الأساسية والمتغيرات
- الدرجة \(n\)
- عدد صحيح غير سالب يعطي درجة كثيرة الحدود؛ \(L_n^{(\alpha)}(x)\) لديها بالضبط \(n\) جذر. في الحاسبة هذا هو حقل الدرجة.
- المعامل \(\alpha\)
- عدد حقيقي (عادة \(\alpha>-1\)) يزيح المعاملات ذات الحدين وأوزان التعامد. الحقل ألفا. مع \(\alpha=0\) تنخفض كثيرات الحدود إلى كثيرات لاغويير العادية.
- المتغير \(x\)
- النقطة التي يتم عندها تقييم كثيرة الحدود. الجدول ينظر إلى \(x_i=\text{البداية}+i\cdot\text{الخطوة}\). النطاق الطبيعي للتعامد هو \((0,\infty)\).
- معامل ذي الحدين المعمم
- للفهرس العلوي الحقيقي، \(\binom{n+\alpha}{n-k}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(k+\alpha+1)\,(n-k)!}\)، الذي يمتد \(\binom{m}{j}=m!/(j!(m-j)!)\) إلى \(\alpha\) غير الصحيحة عبر دالة غاما.
- تكرار ثلاثي الحدود
- الطريقة المستقرة لتوليد كثيرات الحدود: \((k+1)L_{k+1}^{(\alpha)}=(2k+1+\alpha-x)L_k^{(\alpha)}-(k+\alpha)L_{k-1}^{(\alpha)}\)، بدءاً من \(L_0^{(\alpha)}=1\) و \(L_1^{(\alpha)}=1+\alpha-x\).
- التعامد على \((0,\infty)\)
- كثيرات الحدود متعامدة بشكل متبادل: \(\displaystyle\int_0^\infty L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)\,w(x)\,dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}\).
- دالة الوزن \(w(x)=x^{\alpha}e^{-x}\)
- العامل الذي يبقى التعامد ضده؛ بالنسبة إلى \(\alpha=0\) هو وزن الأس البسيط \(e^{-x}\). تقارب التكامل يتطلب \(\alpha>-1\).
قراءة الجدول
يصبح فهم جدول محسوب من \(L_n^{(\alpha)}(x)\) أسهل مع هذه الحقائق:
- عدد الجذور الحقيقية. بالنسبة إلى \(\alpha>-1\)، \(L_n^{(\alpha)}(x)\) له بالضبط \(n\) أصفار حقيقية بسيطة، تقع جميعها في الفترة المفتوحة \((0,\infty)\). إذا كانت عمودك في الجدول يعبر الصفر \(n\) مرات، فقد وجدت جميعها.
- تغييرات العلامة. لأن جميع الأصفار بسيطة، تغير كثيرة الحدود العلامة عند كل واحد. بين صفرين متتاليين تحافظ القيم على علامة ثابتة، لذا فإن قلب العلامة بين الصفوف المجاورة يضع قوساً على جذر — مفيد كفترة بدء لجذر التقسيم الثنائي أو نيوتن.
- القيمة عند الأصل. كل كثيرة لاغويير المرتبطة تحقق \(L_n^{(\alpha)}(0)=\binom{n+\alpha}{n}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!\,\Gamma(\alpha+1)}\). على سبيل المثال، مع \(n=4,\ \alpha=0\) الصف الأول عند \(x=0\) هو 1، ومع \(n=4,\ \alpha=2\) يكون \(\binom{6}{4}=\) 15.
- ميكانيكا الكم. الجزء الشعاعي من دالة موجة ذرة الهيدروجين مبني من \(L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)}\!\left(2r/(na_0)\right)\)؛ عقد كثيرة الحدود تقابل العقد الشعاعية للمدار.
- تربيع غاوس–لاغويير. الأصفار المذكورة في الجدول هي بالضبط الإحداثيات المستخدمة لتقريب \(\int_0^\infty f(x)\,x^{\alpha}e^{-x}\,dx\)، مع الأوزان المشتقة من نفس كثيرات الحدود.
هذه معلومات مرجعية رياضية عامة؛ تحقق من أي قيمة تعتمد عليها في تطبيق حساس.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عندما n = 0؟ تكون \(L_{0}^{(\alpha)}(x) = 1\) لكل قيمة من x ولكل قيمة من \(\alpha\).
هل يمكن أن يكون \(\alpha\) سالباً أو غير صحيح؟ نعم — يصلح كلٌّ من المجموع وعلاقة التكرار لأي عدد حقيقي \(\alpha\). أما التعامد الكلاسيكي على المجال \((0, \infty)\) فيشترط أن يكون \(\alpha > -1\).
هل يمكن أن تكون الخطوة صفراً أو سالبة؟ نعم. الخطوة السالبة تتحرك بقيم x نزولاً، أما الخطوة الصفرية فتكرّر القيمة نفسها وتنتج جدولاً منحلاً (بقيمة x ثابتة).
