ما هي كثيرة حدود تشيبيشيف من النوع الثاني؟
كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الثاني، التي تُكتب \(U_n(x)\)، هي عائلة من كثيرات الحدود المتعامدة تظهر بكثرة في نظرية التقريب والتحليل العددي والفيزياء. هذه أداة رياضية بحتة: تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان ولا ترتبط بأي دولة أو نظام قانوني. تبني هذه الحاسبة جدولاً لقيم \(U_n(x)\) على مجال مختار من \(x\) وتتيح لك تصور المنحنى الناتج.
كيفية الاستخدام
أدخل الرتبة n (عدد صحيح غير سالب)، والقيمة الابتدائية لـ x، ومقدار الزيادة (المسافة بين كل قيمة من قيم x المتتالية)، وعدد التكرارات (كم نقطة عينة تريد توليدها). يُنشأ الجدول من أجل \(x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2 \times \text{stepX}\)، وهكذا. مع القيم الافتراضية (n = 3، البداية = -1، الخطوة = 0.02، 101 نقطة)، يمتد \(x\) من -1 إلى 1.00.
شرح الصيغة
بدلاً من الصيغة المثلثية $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\!\big((n+1)\theta\big)}{\sin\theta}$$ (التي تقسم على صفر عند \(x = \pm 1\))، تستخدم هذه الأداة علاقة التكرار المستقرة ذات الحدود الثلاثة: $$U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2x, \quad U_k(x) = 2x \cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x).$$ هذه العلاقة دقيقة تماماً لكل قيمة حقيقية لـ \(x\) وتتيح للقيم أن تنمو طبيعياً عند \(|x| > 1\). وتحقق كثيرات الحدود هذه المعادلة التفاضلية $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0.$$
مثال محلول
عند n = 3، تكون الصيغة المغلقة \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\). وعند \(x = 0.5\): \(U_0 = 1\)، \(U_1 = 1\)، \(U_2 = 2(0.5)(1) - 1 = 0\)، \(U_3 = 2(0.5)(0) - 1 = -1\). وتعطي الصيغة المغلقة \(8(0.125) - 4(0.5) = 1 - 2 = -1\). وعند طرفي المجال، فإن \(U_n(1) = n+1\) ومن ثم \(U_3(1) = 4\)، وأيضاً \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\) ومن ثم \(U_3(-1) = -4\).
الأسئلة الشائعة
ما هي أوائل كثيرات الحدود؟ \(U_0 = 1\)، \(U_1 = 2x\)، \(U_2 = 4x^2 - 1\)، \(U_3 = 8x^3 - 4x\)، \(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\).
هل يمكن أن تكون x خارج المجال [-1, 1]؟ نعم. كثيرة الحدود معرَّفة لكل قيمة حقيقية لـ \(x\)؛ وتتعامل علاقة التكرار مع \(|x| > 1\) بسلاسة، وإن كانت القيم تنمو بسرعة.
ماذا لو لم تكن n عدداً صحيحاً؟ تُقرَّب الرتبة إلى أقرب عدد صحيح غير سالب لأسفل؛ وتُضبط القيم السالبة إلى 0.
