第２種チェビシェフ多項式とは
第２種チェビシェフ多項式 \(U_n(x)\) は、近似理論・数値解析・物理学など幅広い分野に登場する直交多項式の一群です。本ツールは純粋数学の計算であり、国や地域による違いはなく、どこで使っても同じ結果になります。この計算機では、指定した \(x\) の範囲にわたって \(U_n(x)\) の値の表を作成し、得られた曲線をグラフで確認できます。
使い方
次数 \(n\)（0 以上の整数）、\(x\) の初期値、増分（連続する \(x\) の間隔）、繰り返し回数（生成するサンプル点の数）を入力してください。表は \(x = \text{初期値},\ \text{初期値} + \text{増分},\ \text{初期値} + 2\times\text{増分} \dots\) という順で計算されます。初期設定（\(n = 3\)、初期値 = -1、増分 = 0.02、101 点）では、\(x\) は -1 から 1.00 まで変化します。
計算式の解説
三角関数による表示 $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\!\big((n+1)\theta\big)}{\sin\theta}$$ は \(x = \pm 1\) で 0 による除算が生じるため、本ツールでは安定な三項漸化式を採用しています。すなわち、\(U_0(x) = 1\)、\(U_1(x) = 2x\)、 $$U_k(x) = 2x\cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x)$$ です。この漸化式はすべての実数 \(x\) に対して厳密に成り立ち、\(|x| > 1\) の領域でも値が自然に増大していきます。これらの多項式は微分方程式 $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0$$ を満たします。
計算例
\(n = 3\) のとき、閉じた形は \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\) です。\(x = 0.5\) で計算すると、\(U_0 = 1\)、\(U_1 = 1\)、\(U_2 = 2(0.5)(1) - 1 = 0\)、\(U_3 = 2(0.5)(0) - 1 = -1\) となります。閉じた形でも \(8(0.125) - 4(0.5) = 1 - 2 = -1\) で一致します。端点では \(U_n(1) = n+1\) なので \(U_3(1) = 4\)、また \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\) なので \(U_3(-1) = -4\) となります。
よくある質問
最初のいくつかの多項式は？ \(U_0 = 1\)、\(U_1 = 2x\)、\(U_2 = 4x^2 - 1\)、\(U_3 = 8x^3 - 4x\)、\(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\) です。
\(x\) は [-1, 1] の外でもよいですか？ はい。この多項式はすべての実数 \(x\) で定義されます。漸化式は \(|x| > 1\) でも問題なく処理できますが、値は急速に大きくなります。
\(n\) が整数でない場合は？ 次数は 0 以上の整数に切り捨てられます。負の値は 0 に丸められます。
