¿Qué es el polinomio de Chebyshev de segunda especie?
Los polinomios de Chebyshev de segunda especie, que se escriben \(U_n(x)\), forman una familia de polinomios ortogonales presente en la teoría de la aproximación, el análisis numérico y la física. Se trata de una herramienta de matemática pura: funciona igual en cualquier lugar y no depende de ningún país ni normativa. Esta calculadora elabora una tabla de valores de \(U_n(x)\) sobre el rango de x que elijas y te permite visualizar la curva resultante.
Cómo usarla
Introduce el orden n (un entero no negativo), el valor inicial de x, el incremento (la separación entre valores sucesivos de x) y el número de repeticiones (cuántos puntos de muestra generar). La tabla se construye para x = xInicial, xInicial + pasoX, xInicial + 2×pasoX, y así sucesivamente. Con los valores predeterminados (n = 3, inicio = -1, paso = 0,02, 101 puntos), x va de -1 a 1,00.
La fórmula explicada
En lugar de la forma trigonométrica $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$$ (que divide entre cero en \(x = \pm 1\)), esta herramienta emplea la recurrencia estable de tres términos: \(U_0(x) = 1\), \(U_1(x) = 2x\) y $$U_k(x) = 2x\cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x).$$ La recurrencia es exacta para todo x real y deja crecer los valores de forma natural cuando \(|x| > 1\). Estos polinomios satisfacen la EDO $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0.$$
Ejemplo resuelto
Para n = 3, la forma cerrada es \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\). En \(x = 0{,}5\): $$U_0 = 1,\quad U_1 = 1,\quad U_2 = 2(0{,}5)(1) - 1 = 0,\quad U_3 = 2(0{,}5)(0) - 1 = -1.$$ La forma cerrada da \(8(0{,}125) - 4(0{,}5) = 1 - 2 = -1\). En los extremos, \(U_n(1) = n+1\), de modo que \(U_3(1) = 4\), y \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\), por lo que \(U_3(-1) = -4\).
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son los primeros polinomios? \(U_0 = 1\), \(U_1 = 2x\), \(U_2 = 4x^2 - 1\), \(U_3 = 8x^3 - 4x\), \(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\).
¿Puede x estar fuera de [-1, 1]? Sí. El polinomio está definido para todo x real; la recurrencia maneja sin problemas los casos con \(|x| > 1\), aunque los valores crecen con rapidez.
¿Y si n no es un número entero? El orden se redondea hacia abajo a un entero no negativo; los valores negativos se ajustan a 0.
