Qué hace esta calculadora
Esta herramienta aproxima numéricamente la integral definida de una función g(x) sobre un intervalo finito (a, b) usando la cuadratura de Gauss-Chebyshev de segunda especie. La cuadratura gaussiana evalúa el integrando en un pequeño conjunto de puntos cuidadosamente elegidos (los nodos) y los combina con sus pesos correspondientes, lo que ofrece una gran precisión para funciones suaves con muy pocas evaluaciones. Es matemática pura, así que no hay unidades ni reglas específicas de ningún país.
Cómo usarla
Introduce el integrando como una expresión en x (por ejemplo sqrt(1-x^2), exp(x), 1/(1+x^2) o sin(x)). Entre las funciones admitidas están sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln/log, sqrt, abs, las potencias con ^, además de las constantes pi y e. A continuación, fija el límite inferior a, el límite superior b y el número de nodos n. En general, un n mayor mejora la precisión con integrandos suaves; valores de 30 a 60 funcionan bien para funciones sin peso.
La fórmula explicada
La regla de segunda especie se construye sobre la identidad canónica en [-1, 1] con peso \(\sqrt{1 - x^2}\). Sus nodos en forma cerrada son \(x_i = \cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\) y los pesos \(w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\). Para integrar una g sin peso sobre un intervalo general, aplicamos el cambio de [-1, 1] a [a, b] (con jacobiano \(\frac{b-a}{2}\)) y dividimos por \(\sqrt{1 - x_i^2}\). Esa división se cancela de forma analítica, dejando el peso efectivo \(W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\). La fórmula práctica final es:
$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\sum_{i=1}^{n} W_i\cdot g(x_i)$$
$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n+1}\sum_{i=1}^{n} \sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) f(x_i)$$
$$\text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ f(x) &= \frac{g(x)}{\sqrt{1-t_i^{2}}},\quad t_i=\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ n &= \text{Nodos} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) en (-1, 1) con \(n = 4\). El valor exacto es el área de un semicírculo unitario, \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5707963\). Las cuatro contribuciones suman alrededor de \(1{,}5708358\), lo que coincide con el valor real hasta el cuarto decimal usando solo cuatro nodos.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si a = b? El intervalo tiene anchura cero, así que el resultado es exactamente 0.
¿Y si b es menor que a? La regla sigue funcionando y devuelve el valor con signo, coherente con que la integral de a a b es el negativo de la integral de b a a.
¿Por qué puedo ver el mensaje «no definida en un nodo»? Si g produce NaN o infinito en algún nodo de la cuadratura (por ejemplo, al calcular el ln de un número negativo o al dividir por cero), el resultado no se puede obtener; ajusta la función o el intervalo.
