Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula los nodos (abscisas \(x_i\)) y los pesos \(w_i\) de las reglas clásicas de cuadratura gaussiana. Con ellos puedes aproximar una integral ponderada mediante una suma ponderada finita, integrando de forma exacta polinomios de grado hasta \(2n-1\) en las reglas de Gauss estándar. Reglas disponibles: Gauss-Legendre, Chebyshev de primera y segunda especie, Laguerre generalizada, Hermite, Jacobi y Gauss-Lobatto.
Cómo utilizarla
Selecciona una regla en «Tipos», elige el orden \(n\) (número de nodos, de 2 a 100) y, para Laguerre o Jacobi, indica los parámetros de exponente Alfa y Beta (ambos deben ser mayores que \(-1\)). El resultado muestra cada nodo con su peso, además de la suma de los pesos, que debe coincidir con el momento de orden 0 de la función de peso (para Legendre es 2 y para Hermite es la raíz cuadrada de \(\pi\)).
La fórmula explicada
Para una familia de polinomios ortogonales con recurrencia a tres términos, los nodos son las raíces del polinomio de grado \(n\) y los pesos proceden de los autovectores de la matriz de Jacobi \(J\), tridiagonal y simétrica (el método de Golub-Welsch):
$$w_i = \mu_0 \left(v_{1,i}\right)^2.$$Las reglas de Chebyshev emplean fórmulas trigonométricas cerradas y exactas, Legendre y Lobatto utilizan iteración de Newton sobre el polinomio de Legendre, y Laguerre, Hermite y Jacobi recurren al cálculo de autovalores de la matriz de Jacobi.
Ejemplo resuelto
Gauss-Legendre con \(n = 2\): los nodos son más y menos
$$\pm\frac{1}{\sqrt{3}} = 0{,}5773502692,$$y ambos pesos valen 1, por lo que la suma de los pesos es 2. Comprobación: la integral de \(x^2\) en \([-1, 1]\) vale \(\tfrac{2}{3}\), y la regla da
$$1\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right) + 1\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right) = \tfrac{2}{3}.$$![Symmetric Gauss-Legendre nodes on [-1,1] with weight bars tallest at the center](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-3af7a8df1c/gauss-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Preguntas frecuentes
¿Por qué los pesos deben ser positivos? En las reglas clásicas de Gauss todos los pesos son estrictamente positivos; un peso negativo indica un error numérico.
¿Qué significa la suma de los pesos? Equivale a la integral de la función de peso en el intervalo (el momento de orden 0). Para Hermite, \(e^{-x^2}\) integra \(\sqrt{\pi}\) en toda la recta real.
¿Por qué Alfa y Beta deben ser mayores que \(-1\)? De lo contrario la función de peso no es integrable y los momentos divergen, por lo que no existe ninguna regla válida.
