Công cụ này làm gì
Công cụ này tính các nút (hoành độ \(x_i\)) và trọng số \(w_i\) cho các quy tắc cầu phương Gauss cổ điển. Nhờ đó, bạn có thể xấp xỉ một tích phân có trọng số bằng tổng hữu hạn có trọng số, tích phân chính xác mọi đa thức có bậc tới \(2n-1\) đối với các quy tắc Gauss tiêu chuẩn. Các quy tắc được hỗ trợ gồm: Gauss-Legendre, Chebyshev loại một và loại hai, Laguerre tổng quát, Hermite, Jacobi và Gauss-Lobatto.
Cách sử dụng
Chọn một quy tắc trong mục "Loại", chọn bậc \(n\) (số nút, từ 2 đến 100), và với Laguerre hoặc Jacobi thì nhập thêm các tham số mũ Alpha và Beta (mỗi giá trị phải lớn hơn -1). Kết quả sẽ liệt kê từng nút cùng trọng số tương ứng, kèm tổng các trọng số — giá trị này phải bằng mômen bậc 0 của hàm trọng số (với Legendre là 2, còn với Hermite là căn bậc hai của pi).
Giải thích công thức
Đối với một họ đa thức trực giao có hệ thức truy hồi ba số hạng, các nút chính là nghiệm của đa thức bậc \(n\), còn các trọng số được suy ra từ các vector riêng của ma trận Jacobi \(J\) — một ma trận ba đường chéo đối xứng (phương pháp Golub-Welsch): \(w_i = \mu_0 (v_{1,i})^2\). Các quy tắc Chebyshev dùng công thức lượng giác chính xác dạng đóng, Legendre và Lobatto dùng phép lặp Newton trên đa thức Legendre, còn Laguerre, Hermite và Jacobi dùng bộ giải trị riêng của ma trận Jacobi.
Ví dụ minh họa
Gauss-Legendre với \(n = 2\): các nút là cộng và trừ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = 0.5773502692,$$ và cả hai trọng số đều bằng 1, nên tổng trọng số là 2. Kiểm chứng: tích phân của \(x^2\) trên \([-1, 1]\) bằng \(\frac{2}{3}\), và quy tắc cho kết quả $$1\cdot\frac{1}{3} + 1\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$
![Symmetric Gauss-Legendre nodes on [-1,1] with weight bars tallest at the center](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-3af7a8df1c/gauss-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Câu hỏi thường gặp
Vì sao trọng số phải dương? Với các quy tắc Gauss cổ điển, mọi trọng số đều dương ngặt; một trọng số âm là dấu hiệu của sai số tính toán.
Tổng các trọng số có ý nghĩa gì? Nó bằng tích phân của hàm trọng số trên khoảng (mômen bậc 0). Với Hermite, \(e^{-x^2}\) có tích phân bằng \(\sqrt{\pi}\) trên toàn trục số.
Vì sao Alpha và Beta phải lớn hơn -1? Nếu không, hàm trọng số không khả tích và các mômen sẽ phân kỳ, nên không tồn tại quy tắc hợp lệ.
