ガウス求積法の分点と重み計算 | 求積法選択ツール

計算を入力してください

結果

分点の個数

legendre quadrature

i	分点 x_i	重み w_i
1	0.9931285992	0.0176140071
2	0.9639719273	0.0406014298
3	0.9122344283	0.0626720483
4	0.8391169718	0.0832767416
5	0.7463319065	0.1019301198
6	0.6360536807	0.118194532
7	0.510867002	0.1316886384
8	0.3737060887	0.1420961093
9	0.2277858511	0.1491729865
10	0.0765265211	0.1527533871
11	-0.0765265211	0.1527533871
12	-0.2277858511	0.1491729865
13	-0.3737060887	0.1420961093
14	-0.510867002	0.1316886384
15	-0.6360536807	0.118194532
16	-0.7463319065	0.1019301198
17	-0.8391169718	0.0832767416
18	-0.9122344283	0.0626720483
19	-0.9639719273	0.0406014298
20	-0.9931285992	0.0176140071

重みの総和	2

この計算ツールでできること

このツールは、古典的なガウス求積法における分点（節点 $x_i$）と重み $w_i$ を計算します。これらを用いると、重み付き積分を有限個の重み付き和で近似でき、標準的なガウス公式では $2n-1$ 次までの多項式を厳密に積分できます。対応する求積法は、ガウス・ルジャンドル、第1種・第2種チェビシェフ、一般化ラゲール、エルミート、ヤコビ、およびガウス・ロバットです。

使い方

「求積法の種類」から公式を選び、次数 $n$（分点の個数、2〜100）を指定します。ラゲールまたはヤコビの場合は、指数パラメータ Alpha と Beta（いずれも -1 より大きい値）を入力してください。結果には各分点とその重み、さらに重みの総和が表示されます。この総和は重み関数の0次モーメントに一致するはずで、ルジャンドルでは $2$、エルミートでは $\sqrt{\pi}$ となります。

計算式の解説

三項漸化式を持つ直交多項式の族では、分点は $n$ 次多項式の根として求まり、重みは対称三重対角ヤコビ行列 $J$ の固有ベクトルから得られます（ゴラブ・ウェルシュ法）。すなわち $$w_i = \mu_0\, (v_{1,i})^2$$ です。チェビシェフ公式は厳密な三角関数の閉形式を用い、ルジャンドルとロバットはルジャンドル多項式に対するニュートン反復を、ラゲール・エルミート・ヤコビはヤコビ行列の固有値ソルバーを利用します。

Curve with shaded area approximated by weighted samples at unevenly spaced nodes — Gauss quadrature approximates the integral as a weighted sum of the function evaluated at optimally chosen nodes.

計算例

ガウス・ルジャンドルで $n = 2$ の場合、分点は $\pm 1/\sqrt{3} = 0.5773502692$ で、重みはいずれも $1$ となるため、重みの総和は $2$ です。検算：区間 $[-1, 1]$ における $x^2$ の積分は $2/3$ ですが、この公式では $$1\times\tfrac{1}{3} + 1\times\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}$$ が得られ、一致します。