この計算機でできること
本計算機は、標準区間[-1, 1]上でTanh-Sinh（二重指数型／DE）積分公式に用いる分点（ノード）\(x_i\)と、それに対応する重み\(w_i\)を生成します。これらの組が得られれば、任意の定積分を重み付き和として近似できます。すなわち、区間[-1, 1]における\(f(x)\)の積分は、\(w_i\)と\(f(x_i)\)の積の総和でおよそ表されます。
手法と公式
Tanh-Sinh数値積分では、変数変換 \(x = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) を用います。この変換は実数全体\(t\)を開区間(-1, 1)へ写します。変換後の被積分関数は二重指数的に減衰するため、通常の台形公式でも驚くほど速く収束します。\(t\)を\([-t_a, t_a]\)で打ち切り、刻み幅 \(h = 2 t_a / (n - 1)\) で等間隔に\(n\)点を取ると、各点は \(t_i = -t_a + (i - 1) h\)、分点は \(x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\)、重みは \(w_i = h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i\) を \(\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\) で割った値となります。
$$x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right), \qquad w_i = \frac{h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} t_i &= -t_a + (i-1)\,h, \quad i = 1,\dots,\text{Order }n \\ h &= \frac{2\,t_a}{\text{Order }n - 1} \\ t_a &= \mathrm{round}\!\left[\left(\text{Digits} + 1\right)^{0.46},\,1\right] \end{aligned} \right.$$
使い方
次数\(n\)（台形公式のサンプル点数）を選び、\(t_a\)を要求精度から自動設定するか手動入力するかを選択し、表示する有効桁数を指定します。自動モードでは半幅は \(t_a = \mathrm{round}\!\left[\left(\text{桁数} + 1\right)^{0.46}, 1\right]\) で決まり、22桁の場合は既定値 \(t_a = 4.2\) になります。「半分のみ」を選ぶと対称性 \(x_{-i} = -x_i\)、\(w_{-i} = w_i\) を利用して非負側だけを返し、「全点」を選ぶと-1付近から+1付近まですべての分点を一覧表示します。
計算例
\(n = 3\)、手動で \(t_a = 4\)、「全点」を選んだ場合：\(h = 8 / 2 = 4\)。3つの\(t\)値は \(-4\)、\(0\)、\(4\) となります。\(t = 0\) では \(x = \tanh(0) = 0\)、\(w = \tfrac{\pi}{2} h = 1.5707963 \times 4 = 6.2831853\) です。\(t = \pm 4\) では引数 \(\tfrac{\pi}{2}\sinh(4)\) が非常に大きいため、\(x\)は\(\pm 1\)に飽和し、重みはアンダーフローしてほぼ0になります。\(n\)を大きくし適切な\(t_a\)を設定すれば、重みの総和は約2、すなわち区間[-1, 1]における\(f = 1\)の正確な積分値に近づきます。
よくある質問
端点の重みがほぼ0になるのはなぜ？ 二重指数的な減衰により、端付近では \(\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) がオーバーフローするほど大きくなるため、これらの重みは消失します。これこそがこの公式が高精度である理由です。
ここでいう「次数\(n\)」とは？ \([-t_a, t_a]\)に等間隔に並べた台形公式の点数のことです。点数を増やし、適切な\(t_a\)を設定するほど精度が向上します。
一般の区間[a, b]で積分できますか？ できます。スケール変換すればよく、\(x = (b - a)/2 \times x_i + (a + b)/2\) と置き換え、各重みに \((b - a)/2\) を掛けてください。
