Qué hace esta calculadora
La calculadora de nodos y pesos de cuadratura Tanh-Sinh genera las abscisas (nodos) \(x_i\) y sus pesos asociados \(w_i\) que emplea la regla de integración Tanh-Sinh, también conocida como doble exponencial (DE), sobre el intervalo estándar [-1, 1]. Una vez que dispones de estas parejas, puedes aproximar cualquier integral definida mediante una sencilla suma ponderada: la integral de f(x) en [-1, 1] equivale, de forma aproximada, a la suma de \(w_i\) por \(f(x_i)\).
El método y la fórmula
La cuadratura Tanh-Sinh aplica el cambio de variable \(x = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\), que transforma toda la recta real \(t\) en el intervalo abierto (-1, 1). El integrando transformado decae de forma doble exponencial, por lo que la regla del trapecio convencional converge a una velocidad sorprendente. Tras truncar \(t\) a \([-t_a, t_a]\) y muestrear \(n\) puntos equiespaciados con paso \(h = 2 t_a / (n - 1)\), cada punto produce \(t_i = -t_a + (i - 1) h\), el nodo \(x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\) y el peso \(w_i\) según:
$$x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right), \qquad w_i = \frac{h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)}$$
Cómo utilizarla
Elige el orden \(n\) (el número de puntos de muestreo del trapecio), decide si \(t_a\) se fija automáticamente a partir de la precisión que solicitas o si lo introduces a mano, y selecciona cuántas cifras significativas quieres mostrar. En modo automático, la semianchura es \(t_a = \mathrm{round}\!\left[(\text{digits} + 1)^{0.46},\,1\right]\); para 22 cifras esto da el valor predeterminado documentado \(t_a = 4.2\). La opción «Mitad» aprovecha la simetría \(x_{-i} = -x_i\), \(w_{-i} = w_i\) y devuelve solo el lado no negativo; «Todos» enumera cada nodo desde cerca de -1 hasta cerca de +1.
Ejemplo resuelto
Con \(n = 3\), \(t_a = 4\) manual y la opción «Todos» seleccionada: \(h = 8 / 2 = 4\). Los tres valores de \(t\) son -4, 0 y 4. En \(t = 0\), \(x = \tanh(0) = 0\) y
$$w = \tfrac{\pi}{2} h = 1.5707963 \times 4 = 6.2831853$$En \(t = \pm 4\) el argumento \(\tfrac{\pi}{2}\sinh(4)\) es enorme, de modo que \(x\) se satura en \(\pm 1\) y el peso cae por debajo del umbral hasta prácticamente 0. Con un \(n\) mayor y un \(t_a\) adecuado, los pesos suman alrededor de 2, que es justamente la integral exacta de \(f = 1\) sobre [-1, 1].
Preguntas frecuentes
¿Por qué los pesos de los extremos son casi cero? El decaimiento doble exponencial hace que el cuadrado de \(\cosh\) de \(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\) se desborde cerca de los bordes, así que esos pesos se anulan: precisamente por eso la regla es tan precisa.
¿Qué significa aquí el «orden n»? Es el número de puntos del trapecio equiespaciados a lo largo de \([-t_a, t_a]\); cuantos más puntos y mejor elegido el \(t_a\), mayor es la precisión.
¿Puedo integrar en un intervalo general [a, b]? Sí: basta con reescalar. Sustituye \(x = \tfrac{b - a}{2} x_i + \tfrac{a + b}{2}\) y multiplica cada peso por \(\tfrac{b - a}{2}\).
