Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa la integral definida de una función de una sola variable \(f(x)\) en un intervalo finito \([a, b]\) usando la cuadratura doble exponencial (DE), también conocida como método Tanh-Sinh. La cuadratura DE es uno de los métodos de propósito general más fiables para intervalos finitos y destaca por su capacidad de tratar integrandos que se disparan en un extremo, como \(1/\sqrt{x}\) o \(\log(x)\), donde las reglas habituales de Gauss o de Simpson tienen dificultades.
Cómo usarla
Escribe el integrando en el campo Integrando f(x) con notación matemática habitual: + - * / ^, paréntesis y las funciones sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs, además de las constantes pi y e. Introduce el límite inferior \(a\) y el superior \(b\), elige cuántas cifras significativas quieres obtener y pulsa calcular. Solo se admiten singularidades en los extremos \(a\) y \(b\); por lo demás, la función debe ser analítica en el intervalo abierto \((a, b)\) y no debería ser periódica.
La fórmula explicada
Primero se transforma el intervalo a \([-1, 1]\) mediante \(x(u) = \frac{(b+a)+(b-a)u}{2}\). Después, el cambio DE \(u = \tanh\!\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right)\) estira la recta de modo que, a medida que \(t\) crece, \(u\) se acerca a los extremos de forma superexponencial mientras el peso \(g'(t)\) se anula a la misma velocidad. Como los nodos nunca caen exactamente sobre \(a\) o \(b\), la singularidad de los extremos jamás llega a evaluarse: queda «domada». La integral transformada se suma luego con una sencilla regla del trapecio de paso \(h\), y \(h\) se divide a la mitad hasta que el resultado deja de cambiar.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right)$$$$\text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Límite inferior} \\ b &= \text{Límite superior} \\ x_k &= \tfrac{b+a}{2} + \tfrac{b-a}{2}\tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right) \\ w_k &= \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(k h)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right)} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Para \(f(x) = 1/\sqrt{x}\) en \([0, 1]\) el valor exacto es \(\left[2\sqrt{x}\right]_{0}^{1} = 2\). Una malla DE tosca de 7 puntos (\(h = 0.5\)) ya da en torno a \(1{,}94\); al refinar \(h\), la estimación converge a \(2.000000000000000\). Como comprobación sin singularidad, \(f(x) = x^2\) en \([0, 1]\) devuelve \(1/3 = 0.3333333333333\).
Preguntas frecuentes
¿Puede tratar una singularidad dentro del intervalo? No: el método DE solo admite singularidades en los extremos. Si hay una singularidad interior en \(c\), divide la integral en \([a, c]\) y \([c, b]\) y suma ambos resultados.
¿Por qué funciona mal con funciones periódicas? Con integrandos periódicos suaves, la propia regla del trapecio ya converge de forma exponencial, así que el cambio de variable DE solo ralentiza el cálculo.
¿Para qué sirve el ajuste de cifras? Fija la tolerancia relativa que determina cuándo se detiene el refinamiento y redondea el valor mostrado en consecuencia.
